4129. В окружность вписан четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями. Основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами второго четырёхугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность.
Решение. Пусть M
, N
, K
и L
— проекции точки Q
пересечения диагоналей AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
на стороны AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Заметим, что точки M
, N
, K
и L
— основания высот, опущенных из вершин прямых углов прямоугольных треугольников, поэтому эти точки лежат на сторонах исходного четырёхугольника, а не на их продолжениях.
Из точек M
и L
отрезок AQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AQ
. Вписанные в эту окружность углы QAL
и QML
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle QML=\angle QAL=\angle CAD.
Аналогично
\angle QMN=\angle QBN=\angle CBD,
а так как \angle CAD=\angle CBD
(четырёхугольник ABCD
вписанный), то \angle QML=\angle QMN
, т. е. MQ
— биссектриса угла LMN
. Аналогично докажем, что NQ
, KQ
и LQ
— биссектрисы углов четырёхугольника MNKL
.
Следовательно, биссектрисы внутренних углов четырёхугольника MNKL
пересекаются в одной точке. Поэтому четырёхугольник MNKL
описанный, причём Q
— центр его вписанной окружности.
Пусть E
, F
, G
, H
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Тогда четырёхугольник EFGH
— параллелограмм (см. задачу 1204), а так как его стороны параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD
, это прямоугольник. Около него можно описать окружность, причём FH
— её диаметр. Точки H
, Q
и N
лежат на одной прямой (см. задачу 369), причём \angle HNF=90^{\circ}
, значит, точка N
также лежит на этой окружности. Аналогично на этой окружности лежат точки K
, M
и L
. Следовательно, четырёхугольник MNKL
вписанный.
Примечание. Проекции точки пересечения диагоналей любого вписанного четырёхугольника на его стороны являются вершинами описанного четырёхугольника, если только они не попадают на продолжения сторон (см. задачу 4781).