4138. Через вершины B
и C
треугольника ABC
и центр его вписанной окружности проведена окружность. Прямая, проходящая через вершину A
, касается этой окружности в точке P
. Докажите, AP^{2}=AB\cdot AC
.
Указание. См. задачи 4124, 788 и 57.
Решение. Опишем окружность около треугольника ABC
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а биссектриса AI
пересекает его описанную окружность в точке M
. Тогда MB=MI=MC
(см. задачу 788), значит, M
— центр окружности, проходящей через точки B
, C
и I
. В то же время M
— середина отрезка II_{a}
, где I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
(см. задачу 57).
По теореме о касательной и секущей AP^{2}=AI\cdot AI_{a}
(см. задачу 93), а так как AI\cdot AI_{a}=AB\cdot BC
(см. задачу 4124), то AP^{2}=AB\cdot AC
. Что и требовалось доказать.