4140. Докажите, что сумма расстояний от ортоцентра до трёх вершин остроугольного треугольника равна удвоенной сумме радиусов вписанной и описанной окружностей.
Указание. См. задачи 1257 и 3238.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника. Требуется доказать, что HA+HB+HC=2(r+R)
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
; d_{a}
, d_{b}
, d_{c}
— расстояния от точки O
до сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда AH=2d_{a}
, BH=2d_{b}
, CH=2d_{c}
(см. задачу 1257), а так как
d_{a}=R\cos A,~d_{b}=R\cos B,~d_{c}=R\cos C
и
\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}
(см. задачу 3238), то
HA+HB+HC=2d_{a}+2d_{b}+2d_{c}=2(d_{a}+d_{b}+d_{c})=2(R\cos A+R\cos B+R\cos C)=
=2R(\cos A+\cos B+\cos C)=2R\left(1+\frac{r}{R}\right)=2(R+r).
Что и требовалось доказать.
Примечание. Если угол C
треугольника ABC
тупой, то можно аналогично получить, что HA+HB-HC=2(r+R)
.
Если же \angle C=90^{\circ}
, то a+b=c+2r
, откуда получим известную формулу r=\frac{a+b-c}{2}
, где a
и b
— катеты прямоугольного треугольника, а c
— гипотенуза (см. задачу 217).