4892. Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне
AB
остроугольного треугольника
ABC
окружностью девяти точек, виден из её центра под углом
2|\angle A-\angle B|
.
Решение. Первый способ. Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle ABC=\beta
. Пусть
N
— середина стороны
AB
(рис. 1),
CD
— высота треугольника
ABC
,
H
— точка пересечения высот,
E
— середина отрезка
CH
,
O
— центр описанной окружности,
Q
— центр окружности девяти точек.
Предположим, что
\alpha\gt\beta
. Поскольку
CE=\frac{1}{2}CH=ON
(см. задачу 1257) и
CE\parallel ON
, четырёхугольник
ECON
— параллелограмм, поэтому
NE\parallel OC
. Значит,
\angle DEN=\angle DCO
, а так как
\angle BCO=\angle ACD=90^{\circ}-\alpha
(см. задачу 20), то
\angle DEN=\angle DCO=\angle BAC-\angle BCO-\angle ACD=

=(180^{\circ}-\alpha-\beta)-2(90^{\circ}-\alpha)=\alpha-\beta.

Окружность девяти точек проходит через точки
D
,
N
и
E
(см. задачу 174), значит,
DEN
— вписанный в неё угол, а
DQN
— центральный. Следовательно,
\angle DQN=2\angle DEN=2(\alpha-\beta).

Аналогично для случая, когда
\alpha\lt\beta
.
Второй способ. Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle ABC=\beta
. Пусть
N
,
L
и
K
— середины сторон
AB
,
BC
и
AC
(рис. 2);
CD
— высота треугольника
ABC
.
Предположим, что
\alpha\gt\beta
. Точки
N
,
L
,
K
и
D
лежат на окружности девяти точек треугольника
ABC
(см. задачу 174), причём
KL\parallel DN
. Вписанные в эту окружность углы
KLN
и
NKL
равны
\alpha
и
\beta
соответственно, поэтому дуга
KDN
равна
2\alpha
, а дуга
LN
, не содержащая точки
K
, равна
2\beta
. Поскольку дуги окружности, заключённые между параллельными хордами
KL
и
DN
, равны, дуга
DN
, не содержащая точки
E
, равна разности рассмотренных дуг
KDN
и
LN
, т. е.
2\alpha-2\beta
. Следовательно, из центра окружности отрезок
DN
виден под углом
2(\alpha-\beta)
.
Аналогично для случая, когда
\alpha\lt\beta
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — , № 5.111, с. 119
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.134, с. 117
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — задача 14, с. 274