4892. Докажите, что отрезок, высекаемый на стороне AB
остроугольного треугольника ABC
окружностью девяти точек, виден из её центра под углом 2|\angle A-\angle B|
.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Пусть N
— середина стороны AB
(рис. 1), CD
— высота треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот, E
— середина отрезка CH
, O
— центр описанной окружности, Q
— центр окружности девяти точек.
Предположим, что \alpha\gt\beta
. Поскольку CE=\frac{1}{2}CH=ON
(см. задачу 1257) и CE\parallel ON
, четырёхугольник ECON
— параллелограмм, поэтому NE\parallel OC
. Значит, \angle DEN=\angle DCO
, а так как \angle BCO=\angle ACD=90^{\circ}-\alpha
(см. задачу 20), то
\angle DEN=\angle DCO=\angle BAC-\angle BCO-\angle ACD=
=(180^{\circ}-\alpha-\beta)-2(90^{\circ}-\alpha)=\alpha-\beta.
Окружность девяти точек проходит через точки D
, N
и E
(см. задачу 174), значит, DEN
— вписанный в неё угол, а DQN
— центральный. Следовательно,
\angle DQN=2\angle DEN=2(\alpha-\beta).
Аналогично для случая, когда \alpha\lt\beta
.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Пусть N
, L
и K
— середины сторон AB
, BC
и AC
(рис. 2); CD
— высота треугольника ABC
.
Предположим, что \alpha\gt\beta
. Точки N
, L
, K
и D
лежат на окружности девяти точек треугольника ABC
(см. задачу 174), причём KL\parallel DN
. Вписанные в эту окружность углы KLN
и NKL
равны \alpha
и \beta
соответственно, поэтому дуга KDN
равна 2\alpha
, а дуга LN
, не содержащая точки K
, равна 2\beta
. Поскольку дуги окружности, заключённые между параллельными хордами KL
и DN
, равны, дуга DN
, не содержащая точки E
, равна разности рассмотренных дуг KDN
и LN
, т. е. 2\alpha-2\beta
. Следовательно, из центра окружности отрезок DN
виден под углом 2(\alpha-\beta)
.
Аналогично для случая, когда \alpha\lt\beta
.