4973. Через точку
C
, лежащую на диаметре
AB
окружности
\Omega
, проведена хорда
DE
, перпендикулярная
AB
. Одна из двух хорд, проходящих через точку
B
, пересекает
DE
в точке
T_{1}
, а дугу
AD
окружности
\Omega
— в точке
U_{1}
. Вторая хорда, проходящая через точку
B
, пересекает
DE
в точке
T_{2}
, а дугу
AD
окружности
\Omega
— в точке
U_{2}
. Известно, что существуют окружности
\omega_{1}
и
\omega_{2}
, одна из которых касается хорды
DE
и окружности
\Omega
в точках
T_{1}
и
U_{1}
соответственно, а вторая касается хорды
DE
и окружности
\Omega
в точках
T_{2}
и
U_{2}
соответственно (см. задачу 89). Докажите, что радикальная ось окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
проходит через точку
B
.
Решение. Первый способ. При инверсии относительно окружности с центром
D
и радиусом
R=BD=BE
окружность
\Omega
и прямая
DE
переходят друг в друга, а прямая
BE
переходит в себя, поэтому точки
T_{1}
и
U_{2}
переходят друг в друга. Значит,
BT_{1}\cdot BU_{1}=R^{2}
. Аналогично,
BT_{1}\cdot BU_{1}=R^{2}
.
Из равенства
BT_{1}\cdot BU_{1}=BT_{1}\cdot BU_{1}
получаем, что отрезки касательных, проведённых из точки
B
к окружностям
\omega_{1}
и
\omega_{2}
, равны (см. задачу 93). Следовательно, радикальная ось этих окружностей проходит через точку
B
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку
\angle AU_{1}T_{1}=\angle AU_{1}B=\angle ACT_{1}=90^{\circ},

точки
U_{1}
и
C_{1}
лежат на окружности с диаметром
AT_{1}
, поэтому (см. задачу 2636)
BT_{1}\cdot BU_{1}=BC\cdot BA.

Аналогично,
BT_{2}\cdot BU_{2}=BC\cdot BA.

Значит,
BT_{1}\cdot BU_{1}=BT_{2}\cdot BU_{2},

т. е. степени точки
B
относительно окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
равны. Следовательно, эта точка лежит на радикальной оси окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
. Что и требовалось доказать.
Третий способ. Вписанные углы
BU_{2}E
и
BED
равны, так как они опираются на равные дуги, поэтому
\angle BU_{2}E=\angle BED=\angle BET_{2}.

Значит, треугольники
BU_{2}E
и
BET_{2}
с общим углом при вершине
E
подобны, поэтому
\frac{BU_{2}}{BE}=\frac{BE}{BT_{2}}~\Rightarrow~BT_{2}\cdot BU_{2}=BE^{2}.

Аналогично,
BT_{1}\cdot BU_{1}=BE^{2}.

Далее см. первый способ.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1977, № 7, задача 225 (1977, 65), с. 204