4973. Через точку C
, лежащую на диаметре AB
окружности \Omega
, проведена хорда DE
, перпендикулярная AB
. Одна из двух хорд, проходящих через точку B
, пересекает DE
в точке T_{1}
, а дугу AD
окружности \Omega
— в точке U_{1}
. Вторая хорда, проходящая через точку B
, пересекает DE
в точке T_{2}
, а дугу AD
окружности \Omega
— в точке U_{2}
. Известно, что существуют окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, одна из которых касается хорды DE
и окружности \Omega
в точках T_{1}
и U_{1}
соответственно, а вторая касается хорды DE
и окружности \Omega
в точках T_{2}
и U_{2}
соответственно (см. задачу 89). Докажите, что радикальная ось окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
проходит через точку B
.
Решение. Первый способ. При инверсии относительно окружности с центром D
и радиусом R=BD=BE
окружность \Omega
и прямая DE
переходят друг в друга, а прямая BE
переходит в себя, поэтому точки T_{1}
и U_{2}
переходят друг в друга. Значит, BT_{1}\cdot BU_{1}=R^{2}
. Аналогично, BT_{1}\cdot BU_{1}=R^{2}
.
Из равенства BT_{1}\cdot BU_{1}=BT_{1}\cdot BU_{1}
получаем, что отрезки касательных, проведённых из точки B
к окружностям \omega_{1}
и \omega_{2}
, равны (см. задачу 93). Следовательно, радикальная ось этих окружностей проходит через точку B
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поскольку
\angle AU_{1}T_{1}=\angle AU_{1}B=\angle ACT_{1}=90^{\circ},
точки U_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром AT_{1}
, поэтому (см. задачу 2636)
BT_{1}\cdot BU_{1}=BC\cdot BA.
Аналогично,
BT_{2}\cdot BU_{2}=BC\cdot BA.
Значит,
BT_{1}\cdot BU_{1}=BT_{2}\cdot BU_{2},
т. е. степени точки B
относительно окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
равны. Следовательно, эта точка лежит на радикальной оси окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Что и требовалось доказать.
Третий способ. Вписанные углы BU_{2}E
и BED
равны, так как они опираются на равные дуги, поэтому
\angle BU_{2}E=\angle BED=\angle BET_{2}.
Значит, треугольники BU_{2}E
и BET_{2}
с общим углом при вершине E
подобны, поэтому
\frac{BU_{2}}{BE}=\frac{BE}{BT_{2}}~\Rightarrow~BT_{2}\cdot BU_{2}=BE^{2}.
Аналогично,
BT_{1}\cdot BU_{1}=BE^{2}.
Далее см. первый способ.