5144. Две окружности касаются в точке P
. Диаметр AB
одной из окружностей параллелен диаметру CD
второй. Докажите, что либо прямые AC
и BD
, либо прямые AD
и BC
проходят через точку P
.
Решение. Первый способ. Пусть AB
— диаметр окружности с центром O_{1}
, а CD
— параллельный ему диаметр окружности с центром O_{2}
, причём точки A
и D
лежат по разные стороны от прямой O_{1}O_{2}
. Рассмотрим случай, когда окружности касаются внешним образом (рис. 1).
Линия центров O_{1}O_{2}
проходит через точку P
касания окружностей (см. задачу 1758). Накрест лежащие углы AO_{1}P
и DO_{2}P
при параллельных прямых AB
, CD
и секущей O_{1}O_{2}
равны. Поскольку углы при вершинах O_{1}
и O_{2}
равнобедренных треугольников AO_{1}P
и DO_{2}P
равны, соответственно равны и углы при основаниях AP
и DP
, т. е. \angle APO_{1}=\angle DPO_{2}
. Значит, точка P
лежит на отрезке AD
. Аналогично точка P
лежит на отрезке BC
. Следовательно, прямые AD
и BC
проходят через точку P
.
Пусть теперь окружности касаются внутренним образом. В этом случае воспользуемся равенством соответственных углов AO_{1}P
и DO_{2}P
. Тогда аналогично предыдущему случаю \angle PAO_{2}=\angle PCO_{1}
, значит, точки A
, C
и P
лежат на одной прямой. Аналогично для точек B
, D
и P
. Следовательно, прямые AC
и BD
проходят через точку P
.
Второй способ. Касающиеся окружности гомотетичны относительно точки касания (см. задачу 6401), значит, одна из окружностей переходит в другую при гомотетии с центром P
и коэффициентом, равным отношению радиусов в случае внутреннего касания окружностей или отношению радиусов, взятому со знаком -
, в случае внешнего касания.
Диаметр AB
одной окружности переходит в параллельный ему диаметр CD
второй (см. задачу 5707). Точка A
при этом переходит либо в точку C
в случае внутреннего касания, либо в точку D
в случае внешнего касания. Аналогично для точки B
.
Следовательно, в первом случае прямые AC
и BD
проходят через центр P
гомотетии, а во втором — прямые AD
и BC
.