5355. Через данную внутри окружности точку M
проведите хорду AB
так, чтобы отрезок AM
был вдвое больше отрезка BM
. При каком соотношении между радиусом R
окружности и расстоянием d
от точки M
до центра окружности задача разрешима?
Ответ. \frac{R}{3}\leqslant d\lt R
.
Решение. Предположим, что нужная точка M
построена. Положим MB=x
, AM=2x
. Пусть O
— центр данной окружности, OM=d
. Через точку M
проведём диаметр окружности. Тогда AM\cdot MB=(R-d)(R+d)
(см. задачу 2635), или 2x^{2}=R^{2}-d^{2}
. Значит, x=\sqrt{\frac{R^{2}-d^{2}}{2}}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. По данным отрезкам R
и d
строим отрезок x=\sqrt{\frac{R^{2}-d^{2}}{2}}
(см. задачи 1966 и 5327(б)). С центром в точке M
радиусом x
проводим окружность. Каждая точка пересечения этой окружности с данной есть искомая точка B
.
Действительно, продолжим отрезок MB
до вторичного пересечения с данной окружностью в точке A
. Тогда AM\cdot MB=R^{2}-d^{2}
, или AM\cdot\sqrt{\frac{R^{2}-d^{2}}{2}}=R^{2}-d^{2}
. Отсюда находим, что
AM=\frac{R^{2}-d^{2}}{\sqrt{\frac{R^{2}-d^{2}}{2}}}=\sqrt{2(R^{2}-d^{2})}=2x.
Что и требовалось доказать.
Число решений задачи равно числу точек пересечения построенной окружности с данной, т. е. задача может иметь два решения, одно решение, либо ни одного.
Задача имеет хотя бы одно решение, если AB=3x\leqslant2R
, или
3\sqrt{\frac{R^{2}-d^{2}}{2}}\leqslant2R,~9R^{2}-9d^{2}\leqslant8R^{2},~d^{2}\geqslant\frac{R^{2}}{9},~d\geqslant\frac{R}{3}.