5439. Найдите наименьшее значение выражения |x+y|+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Указание. Используйте геометрическую интерпретацию каждого из слагаемых рассматриваемой суммы.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
. Заметим, что второе слагаемое рассматриваемой суммы есть расстояние между точками P(1;3)
и M(x;y)
, а первое слагаемое — умноженное на \sqrt{2}
расстояние от точки M
до прямой x+y=0
(см. задачу 4249).
Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно оси Oy
, пересекает прямую x+y=0
в точке K
, а N
— проекция точки P
на прямую x+y=0
. Тогда по формуле расстояния от точки до прямой (см. задачу 4249)
PN=\frac{1+3}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
Следовательно,
|x+y|+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}=MK+MP\geqslant PK\geqslant PN=2\sqrt{2},\eqno(1)
причём равенство достигается в случае, когда MK+MP=PK=PN
, т. е. когда точка M
совпадает с N
.
В этом случае угловой коэффициент прямой PN
равен 1, поэтому её уравнение имеет вид y-1=x-3
(см. задачи 4243 и 4205). Решив систему уравнений
\syst{y-1=1\cdot(x-3)\\y=-x,\\}
найдём x=y=1
. Значит, в точке M(1;-1)
неравенство (1) обращается в равенство. Следовательно, наименьшее значение выражения |x+y|+\sqrt{(x-1)^{2}+(y-3)^{2}}
равно 2\sqrt{2}
.
Примечание. См. также статью В.Мирошина «Формулы геометрии помогают алгебре», Квант, 2007, N3, с.46-50.