5447. Дана окружность с хордами AB=4
, BC=6
. Найдите её радиус, если известно, что длина хорды данной окружности, параллельной BC
и проходящей через середину AB
, равна 5.
Ответ. \frac{8}{\sqrt{7}}
.
Указание. Пусть PQ=5
— хорда, проходящая через середину M
хорды AB
параллельно BC
, причём точки P
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
. Найдите радиус окружности описанной около равнобедренной трапеции CBPQ
(см. задачу 4035).
Решение. Пусть PQ=5
— хорда, проходящая через середину M
хорды AB
параллельно BC
, причём точки P
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
. Поскольку AB\lt BC
, хорда AB
меньше диаметра, значит, MP\lt MQ
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
MP\cdot MQ=AM\cdot AM=AM^{2},~MP(PQ-MP)=AM^{2},~MP^{2}-5MP+4=0.
Отсюда находим, что либо MP=1
, либо MP=4
, а так как MP\lt MQ
, то условию задачи удовлетворяет только первый случай.
Пусть H
и K
— проекции точек P
и M
на хорду BC
. Трапеция BPQC
вписана в окружность, значит, она равнобедренная. Тогда (см. задачу 1921)
CH=\frac{BC+PQ}{2}=\frac{6+5}{2}=\frac{11}{2},~BH=\frac{BC-PQ}{2}=\frac{6-5}{2}=\frac{1}{2},~
KH=MP=1,~BK=BH+KH=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Из прямоугольных треугольников BKM
, BHP
и CHP
находим, что
MK=\sqrt{MB^{2}-BK^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},
BP=\sqrt{BH^{2}+PH^{2}}=\sqrt{BH^{2}+MK^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{7}{4}}=\sqrt{2},
CP=\sqrt{CH^{2}+PH^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}+\frac{7}{4}}=4\sqrt{2}.
Пусть радиус окружности равен R
. Обозначим \angle CBP=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{PH}{BP}=\frac{MK}{BP}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}},
а так как окружность описана около треугольника BPC
, то по теореме синусов
R=\frac{CP}{2\sin\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}}=\frac{8}{\sqrt{7}}.