5460. Две окружности касаются внешним образом в точке K
. Прямая AB
касается первой окружности в точке A
, а второй — в точке B
. Прямая BK
пересекает первую окружность в точке D
, прямая AK
пересекает вторую окружность в точке C
.
а) Докажите, что прямые AD
и BC
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB
, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Ответ. 3,2.
Решение. Первый способ. а) Обозначим центры окружностей O_{1}
и O_{2}
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K
, пересекает AB
в точке M
. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM=KM
и KM=BM
. Треугольник AKB
, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный (см. задачу 1188). Вписанный угол AKD
— прямой, поэтому он опирается на диаметр AD
. Значит, AD\perp AB
. Аналогично получаем, что BC\perp AB
. Следовательно, прямые AD
и BC
параллельны.
б) Пусть радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
равны 4 и 1 соответственно. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому
O_{1}O_{2}=O_{1}K+KO_{2}=4+1=5.
Опустим перпендикуляр O_{2}H
из центра второй окружности на диаметр AD
первой. Из прямоугольного треугольника O_{2}HO_{1}
находим, что
O_{2}H=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}H^{2}}=\sqrt{(1+4)^{2}-(4-1)^{2}}=\sqrt{25-9}=4,
а так как ABO_{2}H
прямоугольник, то AB=O_{2}H=4
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot4\cdot2=4.
Треугольники AKD
и BKC
подобны, поэтому \frac{AK}{KC}=\frac{AD}{BC}=4
. Значит, \frac{AK}{AC}=\frac{4}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle AKB}=\frac{AK}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{4}{5}\cdot4=3{,}2.
Второй способ. а) Обозначим центры окружностей O_{1}
и O_{2}
соответственно. Тогда O_{1}A\perp AB
и O_{2}B\perp AB
, значит, прямые O_{1}A
и O_{2}B
параллельны.
Проведём диаметр AP
первой окружности и докажем, что точка K
лежит на отрезке CP
. Действительно, линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому точка K
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
. Треугольники PO_{1}K
и BO_{2}K
равнобедренные, причём их углы PO_{1}K
и BO_{2}K
при вершинах равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AP
, O_{2}C
и секущей O_{1}O_{2}
. Значит, равны и углы PKO_{1}
и BKO_{2}
при их основаниях. Следовательно, точки P
, K
и C
лежат на одной прямой, т. е. точка P
совпадает с точкой D
, и AD\parallel O_{2}B
.
Аналогично докажем, что прямая O_{2}C
вторично пересекает вторую окружность в точке C
. Следовательно, BC\parallel AD
.
б) Предположим, уже доказано, что \angle AKB=90^{\circ}
. Опустим перпендикуляр O_{2}F
из центра O_{2}
второй окружности на O_{1}A
. Из прямоугольного треугольника O_{2}FO_{1}
находим, что
O_{2}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}=\sqrt{25-(4-1)^{2}}=4,
Значит, гипотенуза AB
прямоугольного треугольника AKB
равна 4. Если KN
— высота этого треугольника, то по теореме о пропорциональных отрезках \frac{BN}{MA}=\frac{O_{2}K}{KO_{2}}=\frac{1}{4}
, значит,
BN=\frac{1}{5}AB=\frac{4}{5},~NA=\frac{4}{5}AB=\frac{16}{5}.
Тогда
KN=\sqrt{BN\cdot NA}=\sqrt{\frac{4}{5}\cdot\frac{16}{5}}=\frac{8}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle AKB}=\frac{1}{2}AB\cdot KN=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{8}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2.
Третий способ. а) Обозначим радиусы окружностей R
и r
соответственно. При гомотетии с центром K
и коэффициентом \frac{r}{R}
первая окружность переходит во вторую (см. задачу 6401), точки A
и D
первой окружности — в точки соответственно C
и B
второй, прямая AD
— в прямую CB
, а так как прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую (см. задачу 5707), то BC\parallel AD
.
б) Предположим, уже доказано, что MA=MB=MK
. Опустим перпендикуляр O_{2}F
из центра O_{2}
второй окружности на O_{1}A
. Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{2}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}=\sqrt{25-(4-1)^{2}}=4.
Тогда MA=MB=MK=\frac{1}{2}AB=2
.
Обозначим \angle O_{1}FO_{2}=\alpha
. Тогда \sin\alpha=\frac{O_{2}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{4}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle AKB}=2S_{\triangle AMK}=2\cdot\frac{1}{2}MA\cdot MK\sin\angle AMK=
=MA\cdot MA\sin(180^{\circ}-\alpha)=2\cdot2\cdot\sin\alpha=4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2.