5468. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла.
Указание. Биссектриса вписанного угла делит дугу пополам.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен: BC=a
— данная сторона, \angle BAC=\alpha
— данный угол, AD=l
— данная биссектриса. Продолжим биссектрису AD
до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке M
. Тогда M
— середина дуги, не содержащей точки A
.
Обозначим DM=x
, BM=t
. Треугольник BDM
подобен треугольнику ABM
по двум углам, поэтому
t^{2}=BM^{2}=AM\cdot DM=(AD+DM)DM=(l+x)x
(см. задачу 6701). Из уравнения x^{2}+lx-t^{2}=0
получаем, что x=\frac{\sqrt{l^{2}+4t^{2}}-l}{2}
.
Отсюда вытекает следующее построение. На данном отрезке BC
строим дугу, вмещающую данный угол \alpha
(см. задачу 2889). На дополнительной до окружности дуге отмечаем середину M
. С центром в точке M
строим окружность радиуса x=\frac{\sqrt{l^{2}+4BM^{2}}-l}{2}
(см. задачу 1966). Пусть эта окружность пересекает сторону BC
в точке D
. Тогда искомая вершина A
— точка пересечения прямой MD
с построенной дугой.
Докажем, что построен нужный треугольник ABC
. Действительно, из построения следует, что \angle BAC=\alpha
, BC=a
, а так как точка M
— середина не содержащей точки A
дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
, то AD
— биссектриса треугольника. По построению MD=x=\frac{\sqrt{l^{2}+4BM^{2}}-l}{2}
, откуда BM^{2}=(l+x)x
. Из подобия треугольников BDM
и ABM
(см. задачу 4831) получаем, что AM=\frac{BM^{2}}{MD}
, следовательно,
AD=AM-MD=\frac{BM^{2}}{MD}-MD=\frac{(l+x)x}{x}-x=l.
Что и требовалось доказать.
Если окружность с центром M
радиуса x
пересекает отрезок BC
в двух точках, задача имеет два решения, если касается этого отрезка — одно, если не пересекает — решений нет. Задача имеет решение, если отрезок l
не меньше наибольшего из расстояний от точек дуги CAB
до прямой BC
, т. е. l\leqslant\frac{a}{2}\ctg\frac{\alpha}{2}
.