5475. Данный треугольник разделите на две равновеликие части отрезком наименьшей длины.
Указание. Если BC
— наименьшая сторона треугольника ABC
, то концы искомого отрезка лежат на сторонах AB
и AC
, причём треугольник AMN
— равнобедренный.
Решение. Пусть дан треугольник со сторонами BC=a
, AC=b
, AB=c
и углом \angle BAC=\alpha
, причём a\leqslant b\leqslant c
. Отметим на сторонах AC
и AB
точки M
и N
соответственно, и обозначим \frac{AM}{AC}=x
, \frac{AN}{AB}=y
. Тогда
S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AC}\cdot\frac{AN}{AB}S_{\triangle ABC}=xy\cdot S_{\triangle ABC}
(см. задачу 3007), а так как S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}
, то xy=\frac{1}{2}
. Значит,
MN^{2}=AM^{2}+AN^{2}-2AM\cdot AN\cos\alpha=x^{2}b^{2}+y^{2}c^{2}-2xybc\cos\alpha\geqslant
\geqslant2\sqrt{x^{2}b^{2}\cdot y^{2}c^{2}}-2xybc\cos\alpha=2xybc-2xybc\cos\alpha=
=2xybc(1-\cos\alpha)=bc(1-\cos\alpha)=bc\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=
=\frac{1}{2}(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2})=\frac{1}{2}(a^{2}-(c-b)^{2})=\frac{1}{2}(a+b-c)(a+c-b),
причём равенство достигается в случае, когда xb=yc
, т. е. когда AM=AN
. Тогда, так как xy=\frac{1}{2}
, то x=\frac{yc}{b}=\frac{c}{2bx}
, откуда x=\sqrt{\frac{c}{2b}}
. Следовательно,
AN=AM=xb=\sqrt{\frac{c}{2b}}\cdot b=\sqrt{\frac{bc}{2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{2}}.
Пусть теперь треугольник ABC
разбивается на две равновеликие части отрезком M_{1}N_{1}
с концами на сторонах AB
и BC
. Аналогично предыдущему докажем, что
M_{1}N_{1}^{2}\geqslant\frac{1}{2}(b+a-c)(b+c-a).
Тогда M_{1}N_{1}^{2}\geqslant MN^{2}
. Действительно, так как a+b\gt c
(неравенство треугольника), то
M_{1}N_{1}^{2}\geqslant MN^{2}~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}(b+a-c)(b+c-a)\geqslant\frac{1}{2}(a+b-c)(a+c-b)~~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~b+c-a\geqslant a+c-b~~\Leftrightarrow~b\geqslant a.
Последнее неравенство верно по предположению (a\leqslant b\leqslant c
). Что и требовалось доказать. Аналогично для отрезка с концами на сторонах BC
и AC
.
Таким образом, если a\leqslant b\leqslant c
, то отрезок наименьшей длины, разбивающий треугольник ABC
на две равновеликие части, — это отрезок MN=\sqrt{\frac{1}{2}(a+b-c)(a+c-b)}
с концами на сторонах AC=b
и AB=c
, причём AM=AN=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{2}}
.
Построение этого отрезка: строим отрезок t=\sqrt{bc}
(см. задачу 1986), а затем — отрезки AN=AM=\frac{t}{\sqrt{2}}
(см. задачу 5327(б)) и отрезок MN
.