5636. Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность.
а) Докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равна полусумме оснований.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, если её диагональ равна
\sqrt{41}
, а большее основание равно 8.
Ответ.
\frac{15}{8}
.
Решение. а) Поскольку около трапеции можно описать окружность, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 5003), следовательно, проекция её диагонали на большее основание равна полусумме оснований (см. задачу 1921).
б) Пусть
ABCD
— данная трапеция,
AD=8
,
AC=\sqrt{41}
,
CH
— высота трапеции. Обозначим
BC=x
. Поскольку трапеция равнобедренная и в неё можно вписать окружность, полусумма оснований
AD
и
BC
равна боковой стороне (см. задачу 1930), т. е.
CD=\frac{8+x}{2}
. Кроме того,
AH
— проекция диагонали
AC
на большее основание
AD
, поэтому
AH=\frac{8+x}{2},~DH=\frac{8-x}{2}.

Применив теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам
AHC
и
DHC
, получим, что
AC^{2}-AH^{2}=CD^{2}-DH^{2}
, или
41-\left(\frac{x+8}{2}\right)^{2}=\left(\frac{x+8}{2}\right)^{2}-\left(\frac{8-x}{2}\right)^{2}

Из этого уравнения находим, что
BC=x=2
. Тогда
CD=5
,
DH=3
,
CH=4
.
Пусть
M
— проекция центра
O
окружности, описанной около трапеции
ABCD
, на боковую сторону
CD
;
K
и
N
— точки касания вписанной окружности с основанием
BC
и боковой стороной
CD
соответственно,
Q
— центр вписанной окружности.
Тогда
M
— середина
CD
,
K
— середина
BC
,
CN=CK=1,~CM=\frac{1}{2}CD=\frac{5}{2},

MN=CM-CN=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}.

Обозначим
\angle DCH=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{CH}{CD}=\frac{4}{5}
. Пусть
F
— проекция точки
Q
на
OM
. Тогда
OQMN
— прямоугольник, поэтому
FQ=MN=\frac{3}{2}
, а так как
OQ\parallel CH
и
FQ\parallel CD
, то
\angle FQO=\angle DCH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника
FQO
находим, что
OQ=\frac{FQ}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{5}}=\frac{15}{8}.

Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4.46.2, с. 50