5885. На сторонах AB
, BC
, CA
треугольника ABC
выбраны соответственно точки P
, Q
, R
таким образом, что AR=PR
, CR=QR
и BR
— биссектриса угла PRQ
. Докажите, что прямые PQ
и AC
параллельны.
Указание. Предположите, что это не так.
Решение. Предположим, что это не так. Через точку P
проведём прямую, параллельную стороне AC
. Пусть эта прямая пересекает сторону BC
в точке Q'
, прямую BR
— в точке M
, а прямые PQ
и BR
пересекаются в точке L
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597) и по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{PM}{MQ'}=\frac{AR}{RC}=\frac{PR}{QR}=\frac{PL}{LQ}.
Следовательно, ML\parallel QQ'
(см. примечание к задаче 1059), что невозможно, так как прямые ML
и QQ'
пересекаются в точке B
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, второй тур, 8 класс