5887. Диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Точки X
и Y
симметричны точке O
относительно середин сторон BC
и AD
соответственно. Известно, что AB=BC=CD
. Докажите, что точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям четырёхугольника лежит на прямой XY
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром O
и коэффициентом \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть X_{1}
и Y_{1}
— середины сторон BC
и AD
, K
и M
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Четырёхугольник KX_{1}MY_{1}
— параллелограмм (см. задачу 1234), а так как KX_{1}=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=X_{1}M
, то это ромб.
При гомотетии с центром O
и коэффициентом \frac{1}{2}
точки X
и Y
переходят в X_{1}
и Y_{1}
, а точки K
и M
— в середины K_{1}
и M_{1}
отрезков OK
и OM
соответственно. При этом серединный перпендикуляр к диагонали AC
переходит в серединный перпендикуляр к отрезку OK
, а серединный перпендикуляр к диагонали BD
— в серединный перпендикуляр к отрезку OM
(см. задачу 5707). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит, прямая X_{1}Y_{1}
— серединный перпендикуляр к стороне KM
треугольника OKM
. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника OKM
пересекаются в одной точке (см. задачу 1142). Эта точка лежит на прямой X_{1}Y_{1}
, следовательно, гомотетичная ей точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям AC
и BD
(центр гомотетии O
, коэффициент 2) лежит на прямой XY
.
Примечание. В приведённом решении используется лишь равенство сторон AB
и CD
.
Автор: Смирнов А.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2013, второй тур, 9 класс