5917. Точки A_{1}
и B_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
и AC
треугольника ABC
. Прямые AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке O
, причём AO:OA_{1}=BO:OB_{1}
.
а) Докажите, что прямая CO
проходит через середину отрезка A_{1}B_{1}
.
б) Найдите отношение площади четырёхугольника CA_{1}OB_{1}
к площади треугольника ABC
, если известно, что AO:OA_{1}=BO:OB_{1}=4
.
Ответ. 1:10
.
Решение. а) Треугольник A_{1}OB_{1}
подобен треугольнику AOB
по двум сторонам и углу между ними, значит, \angle B_{1}A_{1}O=\angle BAO
. Следовательно, A_{1}B_{1}\parallel AB
, и AB_{1}A_{1}B
— трапеция. По замечательному свойству трапеции (см. задачу 1513) прямая CO
проходит через середину основания AB
.
б) Треугольник A_{1}CB_{1}
подобен треугольнику BCA
, поэтому
\frac{CB_{1}}{AC}=\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{OB_{1}}{OB}=\frac{1}{4}.
Значит, \frac{AB_{1}}{AC}=\frac{BA_{1}}{BC}=\frac{3}{4}
. Тогда (см. задачи 3007 и 300)
S_{\triangle OAB_{1}}=\frac{AO}{AA_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{AC}S_{\triangle A_{1}AC}=\frac{AO}{AA_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{AC}\cdot\frac{CA_{1}}{BC}\cdot S_{\triangle ABC}=
=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{20}S_{\triangle ABC},
поэтому
S_{CA_{1}OB_{1}}=S_{\triangle A_{1}AC}-S_{\triangle OAB_{1}}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}-\frac{3}{20}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{10}S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
\frac{S_{CA_{1}OB_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{10}.
4
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 7.34.2, с. 70