5980. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC
, касается катетов AC
и BC
в точках B_{1}
и A_{1}
, а гипотенузы — в точке C_{1}
. Прямые C_{1}A_{1}
и C_{1}B_{1}
пересекают CA
и CB
соответственно в точках B_{0}
и A_{0}
. Докажите, что AB_{0}=BA_{0}
.
Решение. Первый способ. Пусть I_{A}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
и продолжения стороны BC
в точках B_{2}
и A_{0}'
соответственно. Тогда I_{A}B_{2}CA_{0}'
— квадрат, а значит, I_{A}A_{0}'=B_{2}C
. Как известно, B_{2}C=AB_{1}
(см. задачу 4805), значит, I_{A}A_{0}'=AB_{1}
. Следовательно, четырёхугольник A_{0}'I_{A}AB_{1}
— параллелограмм, поэтому A_{0}'B_{1}\parallel I_{A}A
.
С другой стороны, AI_{A}
— биссектриса внешнего угла при вершине A
равнобедренного треугольника B_{1}AC_{1}
, поэтому I_{A}A\parallel B_{1}C_{1}
(см. задачу 1174), следовательно, точки A_{0}'
, B_{1}
и C_{1}
лежат на одной прямой и A_{0}'
совпадает с A_{0}
. Тогда BA_{0}
— отрезок касательной к вневписанной окружности, т. е. он равен полупериметру треугольника ABC
(см. задачу 4805). Аналогично получаем, что отрезок AB_{0}
равен полупериметру этого же треугольника, откуда AB_{0}=BA_{0}
.
Второй способ. Так как отрезки CA_{1}
и CB_{1}
равны радиусу r
вписанной окружности, а прямые C_{1}A_{1}
, C_{1}B_{1}
перпендикулярны биссектрисам углов B
и A
соответственно (см. задачу 1180), из прямоугольных треугольников CA_{0}B_{1}
и CB_{0}A_{1}
получаем, что
A_{0}C=\frac{r}{\tg\frac{\angle A}{2}},~B_{0}C=\frac{r}{\tg\frac{\angle B}{2}}.
С другой стороны
AC=r+\frac{r}{\tg\frac{\angle A}{2}},~BC=r+\frac{r}{\tg\frac{\angle B}{2}}.
Следовательно,
AB_{0}=AC+CB_{0}=BC+CA_{0}=BA_{0}.