6099. Высота, опущенная на сторону BC
треугольника ABC
, пересекает описанную окружность в точке A_{1}
. Докажите, что расстояние от центра окружности девяти точек до стороны BC
равно \frac{1}{4}AA_{1}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот. Окружность девяти точек треугольника ABC
проходит через середину M
стороны BC
, основание F
высоты AF
и середину K
отрезка AH
. Тогда KM
— диаметр окружности девяти точек (см. задачу 174), а так как AK=KH=OM
и KH\parallel OM
, то HKOM
— параллелограмм. Его диагонали точкой пересечения Q
делятся пополам, следовательно, середина Q
отрезка OH
— центр окружности девяти точек.
Точка, симметричная точке пересечения высот треугольника относительно стороны, лежит на описанной окружности (см. задачу 4785), поэтому FA_{1}=HF
. Пусть P
— проекция точки Q
на BC
. Обозначим OM=a
, HF=b
. Тогда (см. задачу 1257)
AH=2OM=2a,~PQ=\frac{OM+HF}{2}=\frac{a+b}{2},~
FA_{1}=HF=b,~HA_{1}=2HF=2b,~AA_{1}=AH+HA_{1}=2a+2b.
Следовательно, PQ=\frac{1}{4}AA_{1}
.