6621. Постройте прямоугольный треугольник по сторонам вписанных в него квадратов, один из которых имеет с треугольником общий прямой угол, а одна из сторон второго лежит на гипотенузе.
Решение. Пусть вершины D
и F
квадрата CDEF
со стороной x
, вписанного в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
, лежат на катетах BC=a
и AC=b
соответственно, а вершина E
— на гипотенузе AB=c
. Пусть вершины H
и K
квадрата GHKL
со стороной y
, также вписанного в треугольник ABC
, лежат на гипотенузе, а вершины L
и G
— на катетах BC
и AC
соответственно. Обозначим через h
высоту CD
треугольника ABC
.
Тогда
c^{2}=a^{2}+b^{2}~(1)~\mbox{и}~ch=ab~(2).
Из подобия треугольников ABC
и GCL
получаем
\frac{c}{y}=\frac{h}{h-y}~\Rightarrow~h=\frac{cy}{c-y}.
Тогда
ab=ch=\frac{c^{2}y}{c-y}~(3).
Кроме того,
x(a+b)=ax+bx=2S_{\triangle BEC}+2S_{\triangle AEC}=2S_{\triangle ABC}=ab~\Rightarrow~
~\Rightarrow~x^{2}(a+b)^{2}=a^{2}b^{2}~(4),
Сложив удвоенное равенство (3) с равенством (1), после очевидных упрощений, получим
(a+b)^{2}=\frac{c^{2}(c+y)}{c-y}~(5).
Тогда из (4) и (5) получим, что
c^{2}y^{2}=x^{2}(c^{2}-y^{2})~\Rightarrow~c^{2}=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}-y^{2}}~\Rightarrow~c=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим отрезки c
(см. задачи 1966 и 2608) и h
(см. задачу 2608), затем строим искомый треугольник (см. задачу 241).