6639. Хорды AD
, BE
и CF
окружности делят друг друга на три части, причём внутренний отрезок каждой хорды, вдвое больше каждого из внешних.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF
, если точки A
, B
, C
, D
, E
и F
последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен \sqrt{26}
.
Ответ. 33\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть хорды AD
и BE
пересекаются в точке P
. Положим AD=4x
и BE=4y
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд AP\cdot PD=BP\cdot PE
(см. задачу 2627), или x\cdot3x=y\cdot3y
. Отсюда находим, что x=y
. Значит, AD=BE
. Аналогично AD=CF
.
б) Пусть хорды AD
и CF
пересекаются в точке Q
, а хорды BE
и CF
— в точке T
. Равные хорды равноудалены от центра окружности (см. задачу 1673), поэтому центр равностороннего треугольника PQT
совпадает с центром O
данной окружности. Из подобия треугольников BCT
и PQT
находим, что
BC=\frac{3}{2}PQ=\frac{3}{2}\cdot2x=3x.
Опустим перпендикуляр OH
из центра окружности на сторону PQ
. Тогда H
— середина AD
, а OH
— радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT
со стороной 2x
. Значит (см. задачу 1963),
OH=\frac{2x\sqrt{3}}{6}=\frac{x\sqrt{3}}{3},~AH=\frac{1}{2}AD=2x.
По теореме Пифагора OH^{2}+AH^{2}=OA^{2}
, или
\frac{1}{3}x^{2}+4x^{2}=26.
Отсюда находим, что x^{2}=6
.
Пусть K
, L
, M
— точки попарного пересечения прямых AD
, BE
, CF
. Тогда AF=DE=BC=3x
, а площадь шестиугольника ABCDEF
равна разности площади равностороннего треугольника KLM
со стороной x+3x+x=5x
и трёх равносторонних треугольников со стороной x
, т. е.
S_{ABCDEF}=\frac{25x^{2}\sqrt{3}}{4}-3\cdot\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{22x^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{11x^{2}\sqrt{3}}{2}=33\sqrt{3}.