6661. Четырёхугольник ABCD
описан вокруг окружности, касающейся сторон AB
, BC
, CD
, DA
в точках K
, L
, M
, N
соответственно. Точки A'
, B'
, C'
, D'
— середины отрезков LM
, MN
, NK
, KL
. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA'
, BB'
, CC'
, DD'
, — вписанный.
Решение. Воспользуемся следующей леммой. Точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы углов, образованных прямыми AB
и CD
, параллельны биссектрисам углов, образованных прямыми AD
и BC
(см. задачи 162 и 4131).
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть I
центр вписанной окружности, r
— её радиус. Отрезок IA
перпендикулярен хорде KN
и проходит через её середину C'
(см. задачу 1180), поэтому KC'
— высота прямоугольного треугольника AKI
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, IC'\cdot IA=IK^{2}=r^{2}
. Аналогично IA'\cdot IC=r^{2}
, поэтому IC'\cdot IA=IA'\cdot IC=r^{2}
, Следовательно, точки A
, C
, A'
, C'
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Применяя лемму, получаем, что биссектрисы углов между AA'
и CC'
параллельны биссектрисам углов между IA
и IC
, а значит и углов между перпендикулярными им прямыми KN
и LM
. Аналогично биссектрисы углов между BB'
и DD'
параллельны биссектрисам углов между KL
и MN
. Ещё раз применив лемму, получим утверждение задачи.