6689. Биссектрисы AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
. На отрезках A_{1}I
и B_{1}I
построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A_{2}
и B_{2}
, лежащими на прямой AB
. Известно, что прямая CI
делит отрезок A_{2}B_{2}
пополам. Верно ли, что треугольник ABC
— равнобедренный?
Ответ. Нет, не обязательно.
Указание. См. задачи 1119 и 1121.
Решение. Покажем, что условию задачи удовлетворяет любой треугольник с углом 120^{\circ}
при вершине C
.
Пусть CC_{1}
— биссектриса угла C
. Тогда CA_{1}
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ACC_{1}
. Тогда A_{1}
— точка пересечения биссектрисы угла при вершине A
треугольника ACC_{1}
и биссектрисы внешнего угла при вершине C
этого треугольника. Значит, C_{1}A_{1}
— биссектриса угла CC_{1}B
(см. задачу 1192). Следовательно, точка J
, симметричная I
относительно прямой C_{1}A_{1}
, лежит на прямой AB
.
Заметим, что
\angle AA_{1}C_{1}=\angle A_{1}C_{1}B-\angle A_{1}AB=\frac{1}{2}(\angle CC_{1}B-\angle CAB)=\frac{1}{2}\angle ACC_{1}=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ},
откуда
\angle IA_{1}J=2\angle AA_{1}C_{1}=60^{\circ}.
Таким образом, в равнобедренном треугольнике IA_{1}J
(IA_{1}=A_{1}J
) угол равен 60^{\circ}
. Значит, он равносторонний, IJ=JA_{1}
, и поэтому точка J
совпадает с A_{2}
. Значит, A_{2}C_{1}=JC_{1}=IC_{1}
. Аналогично B_{2}C_{1}=IC_{1}=A_{2}C_{1}
, что и требовалось доказать.
Примечание. Можно показать, что в треугольнике, удовлетворяющем условию задачи, обязательно либо AC=BC
, либо \angle C=120^{\circ}
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2010, VI, финальный тур, № 8, 8 класс