6749. Пусть A_{1}B_{1}C_{1}
— треугольник, симметричный треугольнику ABC
относительно центра окружности, вписанной в его серединный треугольник (треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
). Докажите, что ортоцентр треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, I
— центр вписанной в него окружности, O
— центр описанной, M
— центр тяжести, I_{0}
— центр окружности, вписанной в серединный треугольник.
Очевидно, что ортоцентр H_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
симметричен H
относительно I_{0}
.
С другой стороны, для треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
, образованного центрами вневписанных окружностей, точка I
является ортоцентром (см. задачу 4769), а треугольник ABC
— ортотреугольником, а значит, описанная около треугольника ABC
окружность — окружностью девяти точек треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
(см. задачу 174). Её центр O
— середина отрезка с концами в ортоцентре I
треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
и центре его описанной окружности. Следовательно, центр описанной окружности треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
симметричен точке I
относительно O
.
Рассмотрим треугольник IHH_{1}
. Поскольку серединный треугольник гомотетичен треугольнику ABC
с центром гомотетии M
и коэффициентом -\frac{1}{2}
, медиана II_{0}
треугольника IHH_{1}
проходит через точку M
и делится этой точкой в отношении 2:1
. Значит, M
— точка пересечения медиан этого треугольника. Но M
также делит в отношении 2:1
отрезок HO
(см. задачу 5044). Следовательно, O
— середина отрезка IH_{1}
.
Автор: Мякишев А. Г.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2008, IV, финальный тур, № 2, 10 класс