6759. а) Дан отрезок AB
с точкой C
внутри него, являющийся хордой окружности радиуса R
. Впишите в образовавшийся сегмент окружность, которая проходит через точку C
и касается исходной окружности.
б) Дан отрезок AB
с точкой C
внутри него, являющейся точкой касания с окружностью радиуса r
. Проведите через A
и B
окружность, касающуюся исходной окружности.
Решение. а) Пусть искомая окружность касается данной в точке X
. Тогда XC
— биссектриса угла AXB
(см. задачу 89), поэтому \frac{AX}{XB}=\frac{AC}{CB}
. Геометрическое место точек X
, удовлетворяющих этому условию, есть окружность Аполлония точек A
и B
(см. задачу 2444). Её центр лежит на прямой AB
.
Отсюда вытекает следующее построение. Построим окружность Аполлония для точек A
, B
и отношения \frac{AC}{CB}
(см. задачу 1826). Возьмём любую из её точек пересечения с данной окружностью, соединим эту точку с центром данной окружности и найдём точку пересечения этой прямой с перпендикуляром, восставленным из C
к AB
. Получим центр искомой окружности.
Задача имеет два решения, так как окружность можно вписать в любой из двух сегментов, на которые хорда AB
делит данный круг.
б) Аналогично предыдущему пункту построим окружность Аполлония и найдём отличную от C
точку её пересечения с данной окружностью. Искомая окружность проходит через эту точку и точки A
и B
.
Задача имеет единственное решение.