6859. Биссектриса прямого угла C
в треугольнике ABC
равна \sqrt{2}
. На гипотенузе AB
взята точка D
так, что радиус окружности, вписанной в треугольник ACD
, равен радиусу окружности, касающейся отрезка DB
и продолжений отрезков CD
и CB
. Найдите радиусы этих окружностей.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть окружность радиуса r
, вписанная в треугольник ADC
касается его сторон AC
и AD
в точках L
и K
соответственно; равная ей окружность касается отрезка BD
в точке P
, а продолжения отрезка CB
— в точке Q
.
Обозначим
BC=a,~AC=b,~DM=DP=x,
p_{1}
и p_{2}
— полупериметры треугольников ACD
и BCD
соответственно. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab,~p_{1}=DK+CL+AL=DK+AC=x+b,~
p_{2}=CQ=BC+BQ=BC+BP=BC+(BD-x)=a+BD-x,
S_{\triangle ACD}=p_{1}r=(x+b)r,
S_{\triangle BCD}=(p_{2}-BD)r=((a+BD-x)-BD)r=(a-x)r
(см. задачи 452 и 392). Значит,
\frac{1}{2}ab=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=r(x+b+a-x)=r(a+b),
а так как биссектриса прямоугольного треугольника с катетами a
и b
, проведённая из вершины прямого угла, равна \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}
(см. задачу 4051), то \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}=\sqrt{2}
, поэтому a+b=ab
. Из равенства \frac{1}{2}ab=r(a+b)
находим, что r=\frac{1}{2}
.