6913. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в точках M
и N
. Прямая l
— общая касательная к окружностям \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
такая, что точка M
расположена к прямой l
ближе, чем точка N
. Прямая l
касается окружности \Gamma_{1}
в точке A
, а окружности \Gamma_{2}
— в точке B
. Прямая, проходящая через точку M
параллельно l
, пересекает вторично окружность \Gamma_{1}
в точке C
, а окружность \Gamma_{2}
— в точке D
. Прямые CA
и DB
пересекаются в точке E
, прямые AN
и CD
— в точке P
, прямые BN
и CD
— в точке Q
. Докажите, что EP=EQ
.
Указание. См. задачи 444, 2607, 1734.
Решение. Пусть прямая MN
пересекает отрезок AB
в точке K
. Тогда K
— середина AB
(см. задачу 444), а так как PQ\parallel AB
, то M
— середина PQ
(см. задачу 2607).
Хорда CM
окружности \Gamma_{1}
параллельна касательной AB
, значит, треугольник CAM
равнобедренный (см. задачу 1734), поэтому
\angle BAE=\angle MCA=\angle CMA=\angle BAM.
Аналогично \angle ABE=\angle ABM
. Следовательно, точки M
и E
симметричны относительно прямой AB
, и поэтому ME\perp AB
. Медиана EM
треугольника PEQ
является его высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, EP=EQ
.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2000, XLI
Источник: Агаханов Н. Х., Кожевников П. А., Терёшин Д. А. Математика. Международные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — , № 00.1, с. 36