6919. Сторона AB
треугольника ABC
лежит на оси Ox
. Точка M(2;2)
— основание высоты, проведённой из вершины A
, точка N(4;4)
— основание высоты, проведённой из вершины B
. Найдите сторону AB
.
Ответ. 4\sqrt{5}
.
Решение. Из точек M
и N
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Центр D
этой окружности равноудалён от точек M
и N
, значит, точка D
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку MN
(см. задачу 1129). Координаты середины P
отрезка MN
равны средним арифметическим соответствующих координат концов (см. задачу 4200), т. е. P(3;3)
. Уравнение прямой MN
— y=x
, значит, уравнение прямой DP
— y=-x+6
(см. задачу 4243). Эта прямая пересекает ось Ox
в точке D(6;0)
. Следовательно (см. задачу 4201),
AB=2DM=2\sqrt{(2-6)^{2}+(2-0)^{2}}=2\sqrt{16+4}=4\sqrt{5}.