6969. На стороне AB
треугольника ABC
отмечена точка D
. Окружности, вписанные в треугольники ACD
и BCD
касаются CD
в точках E
и F
соответственно, причём CE:CF=1:2
. Найдите отношение AD:DB
, если известно, что радиусы указанных окружностей равны.
Ответ. 1:2
.
Решение. Первый способ. Пусть окружность, вписанная в треугольник ACD
, касается его сторон AD
и AC
в точках M
и K
соответственно, а окружность, вписанная в треугольник BCD
, касается его сторон BD
и BC
в точках N
и L
соответственно. Обозначим
CK=CE=EF=x,~DF=DN=y,~AM=AK=z,~BN=BL=t.
Тогда
CP=2CE=2x,~AD=AM+MD=AM+ED=z+x+y,~BD=t+y.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади треугольников ACD
и BCD
соответственно, p_{1}=2x+y+z
и p_{2}=2x+y+t
— полупериметры этих треугольников, r
— радиус окружностей. Тогда
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{AD}{BD},~\mbox{и}~\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Таким образом, \frac{AD}{BD}=\frac{p_{1}}{p_{2}}
, или
\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{2x+y+z}{2x+y+t},
откуда находим, что t=2x+2z+y
. Следовательно,
\frac{AD}{BD}=\frac{z+x+y}{y+t}=\frac{z+x+y}{y+2x+2z+y}=\frac{z+x+y}{2(z+x+y)}=\frac{1}{2}.
Второй способ. Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади треугольников ACD
и BCD
соответственно, p_{1}
и p_{2}
— полупериметры этих треугольников, r
— радиус окружностей. Тогда
CE=p_{1}-AD,~CF=p_{2}-BD
(см. задачу 219), поэтому
p_{1}=AD+CE,~p_{2}=BD+CF.
Значит (см. задачи 3000 и 452),
\frac{AD}{BD}=\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{p_{1}r}{p_{2}r}=\frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{AD+CE}{BD+CF},
откуда AD\cdot CF=DB\cdot CE
. Следовательно,
\frac{AD}{DB}=\frac{CE}{CF}=\frac{1}{2}.