8429. Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a
, два других противоположных ребра равны b
, два оставшихся равны c
. Найдите косинус угла между рёбрами, равными a
.
Ответ. \frac{|c^{2}-b^{2}|}{a^{2}}
.
Указание. Описанный параллелепипед данного тетраэдра — прямоугольный.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачу 7041). Поскольку тетраэдр равногранный (см. задачу 7266), этот параллелепипед — прямоугольный (см. задачу 7994).
Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— описанный параллелепипед данного равногранного тетраэдра ACB_{1}D_{1}
, в котором
AC=B_{1}D_{1}=a,~AD_{1}=B_{1}C=b,~AB_{1}=D_{1}C=c.
Искомый угол равен углу между диагоналями прямоугольника ABCD
. Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=a^{2}\\y^{2}+z^{2}=b^{2}\\z^{2}+x^{2}=c^{2}.\\}
Сложим почленно первое и второе уравнения системы и вычтем из результата третье. Получим, что
y^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}).
Пусть \alpha
— искомый угол между прямыми AC
и D_{1}B_{1}
, а O
— центр прямоугольника ABCD
. По теореме косинусов из треугольника BOC
находим, что
\cos\alpha=|\cos\angle BOC|=\left|\frac{OB^{2}+OC^{2}-BC^{2}}{2OB\cdot OC}\right|=
=\left|\frac{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}-y^{2}}{\frac{a^{2}}{2}}\right|=\left|\frac{\frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}}{\frac{a^{2}}{2}}\right|=\frac{|c^{2}-b^{2}|}{a^{2}}.