8431. Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a
, два других противоположных ребра равны b
, два оставшихся ребра равны c
. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер. Докажите, что их центры совпадают.
Ответ. R=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}
;
r=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{8}-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{16p(p-a)(p-b)(p-c)}}
, где p=\frac{a+b+c}{2}
.
Указание. Достройте данный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через противоположные рёбра три пары параллельных плоскостей. Докажите, что центр описанной сферы равноудалён от всех граней параллелепипеда.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед данного тетраэдра (см. задачу 7041). Поскольку тетраэдр равногранный (см. задачу 7266), этот параллелепипед — прямоугольный (см. задачу 7994). Около него можно описать сферу. Эта сфера проходит через все вершины тетраэдра. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда.
Пусть ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— полученный прямоугольный параллелепипед (рис. 1), а ACB_{1}D_{1}
— исходный тетраэдр, в котором
AC=B_{1}D_{1}=a,~AD_{1}=B_{1}C=b,~AB_{1}=D_{1}C=c.
Обозначим AB=x
, AD=y
, AA_{1}=z
. Тогда
\syst{x^{2}+y^{2}=a^{2}\\y^{2}+z^{2}=b^{2}\\z^{2}+x^{2}=c^{2},\\}
откуда находим, что
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
Пусть O
— центр описанной сферы, R
— её радиус. Тогда
R=OA=\frac{1}{2}AC_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+AD^{2}+AA_{1}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=
=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}.
Пусть OO_{1}
— перпендикуляр, опущенный из центра описанной сферы на плоскость грани ACB_{1}
исходного тетраэдра ACB_{1}D_{1}
(рис. 2). Так как OA=OC=OB_{1}
, то O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника ACB_{1}
со сторонами, равными a
, b
и c
, а так как грани этого тетраэдра — остроугольные треугольники (свойство равногранного тетраэдра), то точка O_{1}
лежит внутри треугольника ACB_{1}
. Если R_{1}
— радиус этой окружности, то
R_{1}=\frac{abc}{4S_{\triangle ACB_{1}}}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},
где p
— полупериметр треугольника ACB_{1}
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OAO_{1}
находим, что
OO_{1}=\sqrt{OA^{2}-O_{1}A^{2}}=\sqrt{R^{2}-R^{2}_{1}}=
=\sqrt{\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{16p(p-a)(p-b)(p-c)}}.
Аналогично находим, что расстояния от точки O
до плоскостей остальных граней исходного тетраэдра также равны OO_{1}
(все грани тетраэдра — треугольники со сторонами a
, b
и c
). Значит, O
— центр сферы, вписанной в тетраэдр. Если r
— радиус этой сферы, то
r=OO_{1}=\sqrt{\frac{1}{8}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{16p(p-a)(p-b)(p-c)}}.