9121. Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объёмы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по многоугольнику той же площади.
Решение. Пусть даны прямоугольные параллелепипеды ABCDA'B'C'D'
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}A_{1}'B_{1}'C_{1}'D_{1}'
равного объёма, который мы будем считать единичным. Обозначим длины их рёбер через a
, b
, c
и a_{1}
, b_{1}
, c_{1}
соответственно. Если у параллелепипедов есть равные ребра, например, a=a_{1}
, то достаточно поставить параллелепипеды на горизонтальную плоскость так, чтобы рёбра a
и a_{1}
были перпендикулярны ей, так как тогда любое их сечение горизонтальной плоскостью будет иметь площадь bc=b_{1}c_{1}
. Поэтому далее будем считать, что длины рёбер параллелепипедов различны. Всюду буквами S
и V
обозначим площадь и объём соответственно.
Мы покажем, что на рёбрах AA'
и A_{1}A_{1}'
параллелепипедов найдутся такие точки M
и M_{1}
, что S_{MBD}=S_{M_{1}B_{1}D_{1}}
и V_{AMBD}=V_{A_{1}M_{1}B_{1}D_{1}}
. Далее мы получим, что расположение параллелепипедов, при котором плоскости MBD
и M_{1}B_{1}D_{1}
горизонтальны и совпадают (рис. 1), удовлетворяет условию.
Воспользуемся следующими утверждениями.
1. Если в пирамиде ABCD
плоские углы при вершине A
прямые, а площади граней BCD
, ABC
, ABD
и ACD
равны S_{0}
, S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
соответственно, то
S_{0}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}
(см. задачу 7239).
2. Рассмотрим четырёхугольную пирамиду EABCD
(ABCD
— прямоугольник), лежащую на горизонтальной плоскости гранью EAB
(рис. 2). Такую пирамиду назовём клином с основанием EAB
, а расстояние от прямой CD
до плоскости EAB
назовём высотой клина. Пусть площадь основания клина EABCD
равна \sigma
, а его высота равна H
. Тогда объём клина равен двум третям произведения площади его основания на высоту, т. е. V=\frac{2}{3}\sigma\cdot H
(см. задачу 9112).
3. На горизонтальной плоскости стоят два тетраэдра (или два клина) с равными высотами и равными площадями оснований. Тогда их сечения плоскостью, параллельной основаниям, имеют равные площади.
Для тетраэдров (рис. 3) см. задачу 9105. Чтобы доказать это утверждение для клиньев, достаточно достроить клин до призмы (рис. 4). Из рисунка видно, что
\sigma_{x}=\sigma-\frac{x^{2}}{h^{2}}\sigma=\sigma\left(1-\frac{x^{2}}{h^{2}}\right),
откуда и следует равенство площадей сечений.
Докажем теперь существование точек M
и M_{1}
. Если AM=xc
, а A_{1}M_{1}=xc_{1}
, где x\in(0;1]
, то равенство объёмов пирамид AMBD
и A_{1}M_{1}B_{1}D_{1}
выполняется автоматически, а равенство площадей треугольников MBD
и M_{1}B_{1}D_{1}
равносильно равенству
f(x)=(a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}-a_{1}^{2}c_{1}^{2}-b_{1}^{2}c_{1}^{2})x^{2}+(a^{2}b^{2}-a_{1}^{2}b_{1}^{2})=0,
поскольку.
S_{MBD}^{2}=\frac{1}{4}(x^{2}a^{2}c^{2}+x^{2}b^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}),~
S_{M_{1}B_{1}D_{1}}^{2}=\frac{1}{4}(x^{2}a_{1}^{2}c_{1}^{2}+x^{2}b_{1}^{2}c_{1}^{2}+a_{1}^{2}b_{1}^{2})
в силу утверждения 1.
Покажем, что f(0)\gt0
, а f(1)\leqslant0
(или наоборот). Отсюда и будет следовать существование x\in(0;1]
такого, что f(x)=0
(теорема о прохождении непрерывной функции через 0), а, значит, и существование точек M
и M_{1}
.
Заметим, что
f(0)=a^{2}b^{2}-a_{1}^{2}b_{1}^{2}=\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{c^{2}}-\frac{a_{1}^{2}b_{1}^{2}c_{1}^{2}}{c_{1}^{2}}=\frac{1}{c^{2}}-\frac{1}{c_{1}^{2}}
и, аналогично
f(1)=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-\frac{1}{a_{1}^{2}}-\frac{1}{b_{1}^{2}}-\frac{1}{c_{1}^{2}},
так как abc=a_{1}b_{1}c_{1}=1
.
Рассмотрим два новых прямоугольных параллелепипеда: один с рёбрами \frac{1}{a}
, \frac{1}{b}
, \frac{1}{c}
и диагональю d
, другой — с рёбрами \frac{1}{a_{1}}
, \frac{1}{b_{1}}
, \frac{1}{c_{1}}
и диагональю d_{1}
: их объёмы равны единице, а диагональ одного из них не меньше, чем диагональ другого. Пусть, скажем, d\leqslant d_{1}
, тогда f(1)\leqslant0
. Поскольку объёмы параллелепипедов равны, то у первого параллелепипеда найдётся ребро, большее какого-нибудь ребра второго (выше мы предполагали, что равных рёбер нет). Изменив в случае необходимости обозначения, будем считать, что \frac{1}{c}\gt\frac{1}{c_{1}}
. Тогда f(0)\gt0
, что и требовалось.
Осталось доказать, что описанное выше расположение параллелепипедов удовлетворяет условию. Ясно, что в силу симметрии параллелепипедов относительно своих центров, достаточно проверить это утверждение для их половинок, т. е. призм ABDA'B'D'
и A_{1}B_{1}D_{1}A_{1}'B_{1}'D_{1}'
. Для пирамид MABD
и M_{1}A_{1}B_{1}D_{1}
справедливость его следует из утверждения 3.
Проведём плоскость A'FE\parallel MBD
(рис. 5) и плоскость A_{1}'F_{1}E_{1}\parallel M_{1}B_{1}D_{1}
. Эти плоскости отсекают от призм клинья A'B'D'FE
и A_{1}'B_{1}'D_{1}'F_{1}E_{1}
равного объёма, так как (в силу утверждения 2)
V_{A'B'D'FE}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}axc\cdot b=\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}a_{1}xc_{1}\cdot b_{1}=V_{A_{1}'B_{1}'D_{1}'F_{1}E_{1}}.
Поскольку площади оснований и объёмы клиньев равны, равны и их высоты, поэтому в силу утверждения 3 утверждение это справедливо и для клиньев. Остаётся заметить, что призмы MBDA'EF
и M_{1}B_{1}D_{1}A_{1}'E_{1}F_{1}
имеют равные площади оснований и равные объёмы (а, следовательно, и равные высоты), поэтому площади их сечений любой горизонтальной плоскостью равны.
Примечание. Аналогичное утверждение для произвольных фигур равного объёма, вообще говоря, неверно (см. также задачу 6214 и замечания к ней).
В условии задачи можно отказаться от прямоугольности параллелепипедов. Утверждение при этом остаётся справедливым. Кроме того, оно справедливо для произвольных равновеликих тетраэдров, однако известное доказательство этого факта неэлементарно.