9174. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Его основания ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадраты. Отрезок, соединяющий центр O
основания ABCD
с серединой ребра B_{1}C_{1}
, перпендикулярен основаниям.
а) Докажите, что грани AA_{1}B_{1}B
и ABCD
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AA_{1}
и BC
, если все рёбра параллелепипеда равны 2.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины рёбер B_{1}C_{1}
и AB
соответственно. Тогда ON\parallel MB_{1}
и ON=MB_{1}
, поэтому ONB_{1}M
параллелограмм, а так как OM\perp MB_{1}
, то это прямоугольник. Значит, NB_{1}
— перпендикуляр к плоскости A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и к параллельной ей плоскости ABCD
(см. задачу 7705). Плоскость A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
проходит через прямую NB_{1}
, перпендикулярную плоскости ABCD
, следовательно, эти плоскости перпендикулярны (см. задачу 7710).
б) Поскольку AA_{1}\parallel BB_{1}
, прямая AA_{1}
параллельна плоскости BCC_{1}B_{1}
, содержащей прямую BC
. Значит, расстояние между прямыми AA_{1}
и BC
равно расстоянию от любой точки прямой AA_{1}
до этой плоскости (см. задачу 7889).
Возьмём точку A
. Четырёхугольник AA_{1}B_{1}B
— ромб. Его высота B_{1}N
проходит через середину стороны AB
, значит, BB_{1}=AB_{1}
, т. е. треугольник ABB_{1}
равносторонний. Пусть AH
— его высота. Поскольку BC\perp AB
и BC\perp B_{1}N
, прямая BC
перпендикулярна плоскости AA_{1}B_{1}B
, а значит, и прямой AH
. Следовательно, прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым BB_{1}
и BC
плоскости BCC_{1}B_{1}
, т. е. AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Из равностороннего треугольника ABB_{1}
со стороной 2 находим, что
AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.