9186. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Точка M
— середина бокового ребра CS
.
а) Постройте точку пересечения прямой BM
с плоскостью ESF
.
б) Найдите расстояние между прямыми BM
и EF
, если сторона основания пирамиды равна 2\sqrt{6}
, а высота пирамиды равна 3\sqrt{2}
.
Ответ. 6.
Решение. а) Плоскости BSC
и ASE
проходят через параллельные прямые BC
и EF
соответственно, значит, они пересекаются по прямой l
, параллельной BC
и AD
(см. задачу 8004). Прямая BM
, лежащая в плоскости BSC
, пересекает прямую l
в точке P
. Следовательно, в этой точке она пересекает плоскость ESF
.
б) Поскольку EF\parallel BC
, прямая EF
параллельна плоскости BSC
(см. задачу 8002), значит, расстояние между прямыми BM
и EF
равно расстоянию от любой точки прямой EF
до этой плоскости (см. задачу 7889), например, от точки F
.
Центр O
основания пирамиды — середина наклонной FC
к плоскости BSC
, значит, расстояние от точки F
до плоскости BCS
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
.
Опустим перпендикуляр OH
на высоту SK
равнобедренного треугольника BSC
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости BSC
. Поскольку
OK=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{2}=SO,
прямоугольный треугольник SOK
— равнобедренный. Значит, \angle SKO=45^{\circ}
. Тогда
OH=OK\sin\angle SKO=3\sqrt{2}\sin45^{\circ}=3\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3.
Следовательно, искомое расстояние равно 2OH=6
.