9187. Дан параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Постройте точку пересечения прямой AC_{1}
с плоскостью BA_{1}D
.
б) Найдите расстояние между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
, если параллелепипед прямоугольный, AA_{1}=\sqrt{5}
, AB=BC=2\sqrt{10}
.
Ответ. 2.
Решение. а) Пусть O
— центр грани ABCD
. Точки O
и A_{1}
— общие точки плоскостей BA_{1}D
и AA_{1}C_{1}C
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой A_{1}O
. Пусть прямые AC_{1}
и A_{1}O
пересекаются в точке M
. Тогда M
— точка пересечения прямой AC_{1}
с плоскостью BA_{1}D
. (Из подобия треугольников A_{1}MC_{1}
и OMA
следует, что A_{1}M=2OM
, т. е. M
— точка пересечения медиан треугольника BA_{1}D
.)
б) Поскольку CB_{1}\parallel DA_{1}
, прямая CB_{1}
параллельна плоскости BA_{1}D
(см. задачу 8002), значит, расстояние между прямыми BA_{1}
и CB_{1}
равно расстоянию от любой точки прямой CB_{1}
до этой плоскости (см. задачу 7889), например, от точки C
.
Отрезок AC
делится плоскостью BA_{1}D
пополам, значит, точки A
и C
равноудалены от этой плоскости (см. задачу 9180). Следовательно, задача сводится к вычислению расстояния от точки A
до плоскости BA_{1}D
.
Поскольку ABCD
— квадрат, треугольник BA_{1}D
равнобедренный, его медиана A_{1}D
является высотой. Пусть AH
— высота прямоугольного треугольника OAA_{1}
. Тогда AH
— перпендикуляр к плоскости BA_{1}D
, и расстояние от точки A
до этой плоскости равно длине отрезка AH
. По теореме Пифагора
A_{1}O=\sqrt{OA^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{\left(\frac{AB\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+AA_{1}^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=5.
Следовательно,
AH=\frac{OA\cdot AA_{1}}{A_{1}O}=\frac{2\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}{5}=2.