9251. В правильной треугольной пирамиде SABC
сторона основания AB
равна 6, а боковое ребро SA
равно 4. Точки M
и N
— середины рёбер SA
и SB
соответственно. Плоскость \alpha
содержит прямую MN
и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит медиану CE
основания в отношении 5:1
, считая от точки C
.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC
плоскостью \alpha
.
Ответ. 8+2\sqrt{2}
.
Решение. а) Прямая MN
параллельна плоскости ABC
, поэтому сечение пересекает плоскость ABC
по прямой PQ
(точки P
и Q
лежат на AC
и BC
соответственно), параллельной MN
(см. задачу 8003). Рассмотрим плоскость SCE
. Пусть K
и L
— точки пересечения этой плоскости с прямыми MN
и PQ
соответственно, O
— центр основания пирамиды. Плоскость MNQ
перпендикулярна плоскости ABC
по условию, плоскость SCE
перпендикулярна плоскости ABC
, так как она проходит через прямую SO
, перпендикулярную плоскости ABC
(см. задачу 7710). Значит, прямая KL
пересечения плоскостей MNQ
перпендикулярна плоскости ABC
(см. задачу 9104), и поэтому параллельна прямой SO
.
Поскольку MN
— средняя линия треугольника ASB
, точка K
— середина отрезка ES
. Значит, L
— середина отрезка EO
. Медиана CE
треугольника ABC
делится точкой O
в отношении CO:OE=2:1
. Пусть CE=6a
. Тогда
OE=\frac{1}{3}CE=2a,~LE=\frac{1}{2}OE=a,~CL=6a-a=5a.
Следовательно, CL:LE=5a:a=5:1
.
б) Из подобия треугольников PQC
и ABC
получаем, что PQ=\frac{5}{6}AB=5
. Поскольку MN\parallel PQ
и PQ\ne MN
, сечение MNQP
пирамиды SABC
— трапеция с основаниями PQ=5
и MN=\frac{1}{2}AB=3
, а так как треугольники AMP
и BNQ
равны, то MP=NQ
. Следовательно, эта трапеция равнобедренная.
Высота CE
равностороннего треугольника ABC
равна \frac{AB\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}
. Тогда
CO=\frac{2}{3}CE=2\sqrt{3},~SO=\sqrt{SC^{2}-CO^{2}}=\sqrt{16-12}=2.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на PQ
. Тогда MF=KL=\frac{1}{2}SO=1
, а так как
PF=\frac{1}{2}(PQ-MN)=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}AB-\frac{1}{2}AB\right)=\frac{1}{6}AB=1
(см. задачу 1921), то NQ=MP=\sqrt{2}
. Следовательно, периметр трапеции MNQP
равен
PQ+MN+2AM=5+3+\sqrt{2}+\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}.