9306. Основание пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями AD=2BC
, M
— середина бокового ребра SA
, а высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью BMC
— прямоугольник.
б) Найдите расстояние между прямыми AD
и CM
, если BC=6
, высота пирамиды равна 16, а диагонали трапеции ABCD
перпендикулярны.
Ответ. 7,2.
Решение. а) Плоскости BMC
и ASD
проходят через параллельные прямые BC
и AD
, значит, они пересекаются по прямой, параллельной AD
и проходящей через точку M
(см. задачу 8004). Пусть эта прямая пересекает ребро SD
в точке N
. Тогда MN
— средняя линия треугольника ASD
, поэтому MN=\frac{1}{2}AD=BC
. Значит, сечение пирамиды плоскостью BMC
— параллелограмм BMNC
.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
, P
и Q
— середины основания BC
и AD
соответственно, K
— точка пересечения высоты CH
трапеции с диагональю BD
. Тогда (см. задачу 1021)
DH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(2BC-BC)=\frac{1}{2}BC=CP=QH,
т. е. H
— середина DQ
, а так как KH\parallel OQ
, то K
— середина DO
. В то же время, NK
— средняя линия треугольника SOD
, поэтому NK\parallel SO
, а так как SO
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, то NK
— также перпендикуляр к этой плоскости, и CK
— ортогональная проекция наклонной CN
на плоскость основания пирамиды. Поскольку CK\perp AD
, по теореме о трёх перпендикулярах CN\perp AD
, а так как MN\parallel AD
, то CN\perp MN
. Следовательно, параллелограмм BMNC
— прямоугольник.
б) Пусть теперь диагонали трапеции перпендикулярны, BC=6
, SO=16
. Тогда
AD=2BC=12,~\angle OCB=\angle OBC=45^{\circ},~
OP=CP=3,~OQ=DQ=6,~PQ=OP+OQ=9.
Поскольку прямая AD
параллельна плоскости BMC
, содержащей прямую CM
, расстояние между прямыми AD
и CM
равно расстоянию от любой точки прямой AD
до этой плоскости (см. задачу 7889), например, от точки Q
. Пусть L
— точка пересечения MN
и SQ
. Тогда L
— середина SQ
. Опустим перпендикуляр QE
из точки Q
на прямую PL
. Тогда QE
— перпендикуляр к плоскости BMC
, так как QE\perp PL
и QE\perp BC
.
Пусть T
— точка пересечения SO
и PL
, а прямая, проходящая через точку O
параллельно PL
, пересекает SQ
в точке F
. Тогда LF:FQ=OP:OQ=1:2
, а так как L
— середина отрезка SQ
, то TO:ST=LF:LS=LF:LQ=1:3
, значит,
TO=\frac{1}{4}SO=\frac{1}{4}\cdot16=4.
Из прямоугольного треугольника POT
находим, что
\tg\angle QPE=\tg\angle OPT=\frac{TO}{OP}=\frac{4}{3}.
Тогда \sin\angle QPE=\frac{4}{5}
. Следовательно,
QE=PQ\sin\angle QPE=9\cdot\frac{4}{5}=\frac{36}{5}=7{,}2.