9325. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
. Апофема пирамиды вдвое больше стороны основания. Плоскость \alpha
проходит через ребро AB
и делит пополам двугранный угол пирамиды при этом ребре.
а) Докажите, что плоскость \alpha
делит высоту пирамиды в отношении 4:1
, считая от вершины S
.
б) Найдите объём большей из частей, на которые пирамида разбивается плоскостью \alpha
, если сторона основания пирамиды равна \sqrt{15}
.
Ответ. \frac{125}{6}
.
Решение. а) Пусть M
и N
— середины рёбер AB
и CD
соответственно. Плоскости CSD
и \alpha
проходят через параллельные прямые AB
и CD
, значит, они пересекаются по прямой, параллельной AB
и CD
(см. задачу 8004). Пусть эта прямая пересекает рёбра SD
и SC
в точках P
и Q
соответственно, а апофему SN
— в точке K
. Поскольку APQB
— биссекторная плоскость двугранного угла пирамиды при ребре AB
, отрезок MK
— биссектриса равнобедренного треугольника MSN
.
Пусть E
— точка пересечения этой биссектрисы с высотой SO
пирамиды. Тогда ME
— биссектриса треугольника MSO
, а так как OM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}SM
, то SE:EO=SM:OM=4:1
(см. задачу 1509).
б) По свойству биссектрисы треугольника также получаем, что SK:KL=SM:MN=2:1
. Пусть объём пирамиды SABCD
равен V
. Тогда
V_{SCBD}=V_{SABD}=\frac{1}{2}V,
V_{SBPQ}=\frac{SP}{SD}\cdot\frac{SQ}{SC}\cdot V_{SCBD}=\frac{SK}{SN}\cdot\frac{SK}{SN}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{2}{9}V,
V_{SABP}=\frac{SP}{SD}\cdot V_{SABD}=\frac{SK}{SN}\cdot{1}{2}V=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{1}{3}V
(см. задачу 7244),
V_{ABQP}=V_{SBPQ}+V_{SABP}=\frac{2}{9}V+\frac{1}{3}V=\frac{5}{9}V.
Значит, это объём большей из двух частей пирамиды.
Из прямоугольного треугольника SMO
находим, что
SO=\sqrt{(2\sqrt{15})^{2}-\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\right)^{2}}=\frac{15}{2}.
Значит,
V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot15\cdot\frac{15}{2}=\frac{75}{2}.
Следовательно, объём большей из двух частей пирамиды равен
\frac{5}{9}V=\frac{5}{9}\cdot\frac{75}{2}=\frac{125}{6}.