9364. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
сторона основания AB
равна 16, а высота равна 4. На рёбрах AB
, CD
и AS
отмечены точки M
, N
и K
соответственно, причём AM=DN=4
и AK=3
.
а) Докажите, что плоскости MNK
и SBC
параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K
до плоскости SBC
.
Ответ. \frac{12\sqrt{5}}{5}
.
Решение. а) Поскольку AM:AB=1:4
и AK:AS=1:4
, прямая KM
параллельна SB
, а так как AM:AB=DN:DC
, то прямая MN
параллельна прямой BC
. Значит, две пересекающиеся прямые плоскости MNK
соответственно параллельны двум прямым плоскости SBC
. Следовательно, эти плоскости параллельны по признаку параллельности плоскостей (см. задачу 8008).
б) Точка K
лежит на наклонной AS
к плоскости SBC
, причём KS:AS=3:4
, значит, расстояние d
от точки K
до плоскости SBC
составляет \frac{3}{4}
расстояния d_{1}
до этой плоскости от точки A
(см. задачу 9180). Прямая AD
параллельна плоскости SBC
, значит, расстояние d_{1}
от точки A
до плоскости SBC
равно расстоянию до этой плоскости от любой точки прямой AD
, в частности, — от середины E
ребра AD
.
Пусть O
— центр основания ABCD
, F
— середина ребра BC
. Тогда O
— середина наклонной EF
к плоскости SBC
, значит, расстояние d_{1}
от точки E
до плоскости SBC
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
.
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на апофему SL
пирамиды. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости SBC
, так как OH\perp SF
и OH\perp BC
. Значит, расстояние от точки O
до плоскости SBC
равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольного треугольника SOF
находим, что
OH=\frac{OF\cdot SO}{\sqrt{OF^{2}+SO^{2}}}=\frac{8\cdot4}{\sqrt{64+16}}=\frac{8}{\sqrt{5}}
(см. задачу 1967). Следовательно,
d=\frac{3}{4}d_{1}=\frac{3}{4}\cdot2OH=\frac{3}{2}OH=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}.