9402. Через вершину конуса и хорду основания проведена плоскость. Известно, что в сечении получился равнобедренный треугольник наибольшей возможной площади. Найдите угол при его вершине, если угол в развёртке боковой поверхности конуса равен: а) 120^{\circ}
; б) 320^{\circ}
.
Ответ. а) 2\arcsin\frac{1}{3}=\arccos\frac{7}{9}
; б) 90^{\circ}
.
Указание. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор окружности, радиус которой равен образующей конуса, а длина дуги равна длине окружности основания конуса.
Решение. а) Пусть угол при вершине осевого сечения конуса равен \alpha
. Тогда \cos\frac{7}{9}\gt0
(см. задачу 8059). Значит, этот угол острый, и поэтому сечение наибольшей площади — это осевое сечение конуса.
б) Пусть угол при вершине осевого сечения конуса равен \alpha
, l
— образующая конуса, r
— радиус основания конуса. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор окружности радиуса l
(рис. 1). По условию задачи угол между радиусами этого сектора равен 320^{\circ}
, поэтому длина дуги сектора составляет \frac{320}{360}=\frac{8}{9}
длины окружности радиуса l
, т. е. \frac{8}{9}\cdot2\pi l=\frac{16}{9}\pi l
. С другой стороны, длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. 2\pi r
(рис. 2). Из уравнения \frac{16\pi l}{9}=2\pi r
находим, что \frac{r}{l}=\frac{8}{9}
. Следовательно,
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{8}{9}.
Тогда
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot\frac{64}{81}=-\frac{47}{81}\lt0.
Значит, этот угол тупой, и поэтому сечение наибольшей площади — это сечение, проведённое через перпендикулярные образующие, т. е. равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными l
(см. задачи 3570 и 7528).