9417. Точки K
и M
— середины рёбер соответственно BD
и AB
правильного тетраэдра ABCD
с ребром 1. Найдите расстояние между прямыми KM
и AC
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{6}
.
Решение. Прямая KM
параллельна прямой AD
, лежащей в плоскости ADC
(как средняя линия треугольника ABD
). Значит, прямая KM
параллельна плоскости ADC
. Тогда расстояние между прямыми KM
и AC
равно расстоянию от произвольной точки прямой KM
, например, от точки M
, до этой плоскости (см. задачу 7889).
Пусть L
— середина медианы BN
треугольника ABC
. Прямая ML
параллельна плоскости ADC
, так как она параллельна прямой AC
, лежащей в этой плоскости (как средняя линия треугольника ABN
). Значит, расстояние от точки M
до плоскости ADC
равно расстоянию до этой плоскости от точки L
. В свою очередь, это расстояние вдвое меньше расстояния от точки B
до плоскости ADC
, так как L
— середина BN
(см. задачу 9180). Таким образом, искомое расстояние между прямыми KM
и AC
вдвое меньше высоты правильного тетраэдра ABCD
, т. е. равно \frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}
(см. задачу 7040).
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(б), с. 55