9427. Сторона основания ABCDEF
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF
равны 1, а боковое ребро равно 2. Найдите расстояние между прямыми SB
и AD
.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{5}}
.
Решение. Плоскость BSC
проходит через прямую SB
и содержит прямую BC
, параллельную AD
. Значит, прямая AD
параллельна этой плоскости (см. задачу 8002). Следовательно, расстояние между прямыми SB
и AD
равно расстоянию от произвольной точки прямой BE
, например, от центра O
основания пирамиды, до плоскости BSC
(см. задачу 7889).
Пусть M
— середина ребра BC
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую SM
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости BSC
, так как OH\perp SM
и OH\perp BC
. Далее находим, что
SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},
SM=\sqrt{SB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2},
OH=\frac{SO\cdot OM}{SM}=\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
(см. задачу 1967). Следовательно, искомое расстояние между прямыми SB
и AD
равно \sqrt{\frac{3}{5}}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(г), с. 55