9512. Дан правильный тетраэдр ABCD
с ребром a
. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через высоту DH
тетраэдра параллельно ребру AC
.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{6}}{9}
.
Решение. Плоскость ABC
проходит через прямую AC
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку H
, значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку H
параллельно AC
(см. задачу 8003). Пусть прямая l
пересекает рёбра AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Если BD
— медиана треугольника ABC
, то (см. задачу 1207)
BM:AB=BN:BC=BH:BD=2:3,
поэтому
MN=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}a.
Сечение, о котором говорится в условии задачи, — равнобедренный треугольник MDN
с основанием MN=\frac{2}{3}a
и высотой DH=a\sqrt{\frac{2}{3}}
(см. задачу 7040). Следовательно,
S_{\triangle MDN}=\frac{1}{2}MN\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{9}.