9530. Дан единичный куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Найдите расстояние от точки A
до плоскости BDC_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Отрезок AC
делится плоскостью BDC_{1}
пополам, значит, искомое расстояние от точки A
до плоскости BDC_{1}
равно расстоянию от этой плоскости до точки C
(см. задачу 9180).
Известно, что в любом параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
диагональ CA_{1}
проходит через точку M
пересечения медиан треугольника BDC_{1}
и делится ею в отношении 1:2
, считая от C
(см. задачу 7212). Известно также, что если параллелепипед является кубом, то диагональ CA_{1}
перпендикулярна плоскости BDC_{1}
(см. задачу 7300). Следовательно, расстояние CM
, а значит, и расстояние от точки A
до плоскости BDC_{1}
равно \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 2, с. 35
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1(д), с. 34