9576. В кубе ABCDA'B'C'D'
с ребром 1 точки T
, P
и Q
— центры граней AA'B'B
, A'B'C'D'
и BB'C'C
соответственно. Найдите расстояние от точки P
до плоскости ATQ
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Заметим, что вершины B'
и C
куба лежат в плоскости ATQ
, поэтому, плоскости ATQ
и AB'C
совпадают.
Далее можно воспользоваться тем, что плоскость AB'C
перпендикулярна диагонали BD'
куба и делит её в отношении 1:2
, считая от точки B
(см. задачи 7300 и 7212). Тогда D'B=\sqrt{3}
, расстояние от точки D'
до плоскости AB'C
равно \frac{2}{3}D'B=\frac{2\sqrt{3}}{3}
, а расстояние от точки P
до этой плоскости ещё в два раза меньше (см. задачу 9180), т. е. равно \frac{\sqrt{3}}{3}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2010-2011, 10 класс