9593. На рёбрах AB
и BC
треугольной пирамиды ABCD
отмечены точки M
и N
так, что AM:MB=CN:NB=1:3
. Точки P
и Q
— середины рёбер DA
и DC
соответственно.
а) Докажите, что точки P
, Q
, M
и N
лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM
разбивает пирамиду.
Ответ. 9:23
.
Решение. Первый способ. а) Поскольку AM:MB=CN:NB
, прямая MN
параллельна ребру AC
, а так как PQ
— средняя линия треугольника ADC
, то PQ\parallel AC
. Значит, прямые MN
и PQ
параллельны, поэтому они лежат в одной плоскости. Следовательно, принадлежащие им точки P
, Q
, M
и N
лежат в этой плоскости.
б) Пусть объём пирамиды равен V
, площадь грани ABC
равна S
, а высота пирамиды, опущенная из вершины D
, равна h
. Тогда V=\frac{1}{3}Sh
.
Пусть K
— середина ребра AC
, а L
и T
— точки пересечения прямой, проходящей через точку K
параллельно AB
, с отрезком MN
и стороной BC
. Тогда T
— середина ребра BC
, APQK
и AKLM
— параллелограммы, а объём содержащей точку A
части пирамиды, равен сумме объёмов треугольной призмы AMPKLQ
и четырёхугольной пирамиды QCKLN
с вершиной Q
. Обозначим эти объёмы v
, v_{1}
и v_{2}
соответственно.
Далее получаем, что
S_{\triangle BMN}=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}S=\frac{9}{16}S,~S_{AMNC}=S-\frac{9}{16}S=\frac{7}{16}S,
S_{\triangle CKT}=\frac{1}{4}S,~S_{CKLN}=\frac{3}{4}S_{\triangle CKT}=\frac{3}{16}S,
v_{2}=\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{2}V=\frac{3}{32}V,~
S_{AMLK}=S_{AMNC}-S_{CKLN}=\frac{7}{16}S-\frac{3}{16}S=\frac{1}{4}S,
v_{1}=\frac{1}{2}S_{AMLK}\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{16}Sh=\frac{3}{16}\frac{1}{3}\cdot Sh=\frac{3}{16}V
(см. задачу 7273),
v=v_{1}+v_{2}=\frac{3}{16}V+\frac{3}{32}V=\frac{9}{32}V.
Следовательно,
\frac{v}{V-v}=\frac{\frac{9}{32}V}{V-\frac{9}{32}V}=\frac{\frac{9}{32}V}{\frac{23}{32}V}=\frac{9}{23}.
Второй способ. а) Пусть F
— точка пересечения прямых BD
и MP
. Через через вершину D
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть она пересекается с отрезком FM
в точке E
. Из равенства треугольников DPE
и APM
получаем, что DE=AM=\frac{1}{4}AB
. Значит, BF=3BD
. Аналогично докажем, что если G
— точка пересечения прямых BD
и NQ
, то BG=3BD
. Значит, точки F
и G
совпадают. Следовательно, точки P
, Q
, M
и N
лежат в плоскости пересекающихся прямых MP
и NQ
.
б) Пусть V
, V_{1}
и V_{2}
— объёмы треугольных пирамид DABC
, NFBM
и QFDP
соответственно, S_{\triangle ADB}=s
, а высота треугольной пирамиды DABC
, опущенная из вершины C
, равна d
. Тогда, поскольку NB=\frac{3}{4}CB
(см. задачу 9180), расстояние от точки N
до плоскости ABD
равно \frac{3}{4}d
. Аналогично, расстояние от точки Q
до плоскости ABD
равно \frac{1}{2}d
. Кроме того,
S_{\triangle FBM}=\frac{3}{2}S_{\triangle BDM}=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}S_{\triangle ABD}=\frac{9}{8}s,~
S_{\triangle FDP}=\frac{DF}{DB}\cdot\frac{DP}{DA}S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{4}s.
Значит,
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle FBM}\cdot\frac{3}{4}d=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{8}S\cdot\frac{3}{4}d=\frac{27}{32}\cdot\frac{1}{3}sd=\frac{27}{32}V,
V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle FDP}\cdot\frac{1}{2}d=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}s\cdot\frac{1}{2}d=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}sd=\frac{1}{8}V.
Пусть V_{3}
— объём той части пирамиды DABC
, которая содержит точку B
. Тогда
V_{3}=V_{1}-V_{2}=\frac{27}{32}V-\frac{1}{8}V=\frac{23}{32}V,
а объём оставшейся части равен
V-\frac{23}{32}V=\frac{9}{32}V.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{9}{23}
.
Примечание. Для доказательства принадлежности указанных четырёх точек одной плоскости можно также воспользоваться задачей 9106.