9627. Через точку, расположенную на расстоянии a
от центра сферы радиуса R
(R\gt a
), проведены три попарно перпендикулярные хорды. Найдите сумму квадратов отрезков хорд, на которые их делит данная точка.
Ответ. 6R^{2}-2a^{2}
.
Указание. См. задачу 9634.
Решение. Пусть O
— центр сферы, M
— точка внутри сферы, через которую проведены три попарно перпендикулярные хорды, OM=a
, R_{1}
— радиус сечения сферы плоскостью \alpha
, проходящей через две из указанных трёх хорд, делящихся на отрезки x
и y
(первая хорда), z
и t
— вторая. Тогда
x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4R_{1}^{2}
(см. задачу 131). Аналогично определим R_{2}
, R_{3}
, m
и n
и получим равенства
x^{2}+y^{2}+m^{2}+n^{2}=4R_{2}^{2},~z^{2}+t^{2}+m^{2}+n^{2}=4R_{3}^{2}.
При этом xy=zt=mn=R^{2}-a^{2}
(см. задачу 2635).
Пусть искомая сумма равна S
. Сложив все три равенства, получим, что
S=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}+m^{2}+n^{2}=2(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}).
Пусть O_{1}
— центр окружности пересечения сферы с плоскостью \alpha
, а K
— ортогональная проекция точки O
на третью хорду. Тогда
OO_{1}=KM=\frac{|m-n|}{2},
поэтому
R_{1}^{2}=R^{2}-OO_{1}^{2}=R^{2}-\left(\frac{m-n}{2}\right)^{2}.
Аналогично
R_{2}^{2}=R^{2}-\left(\frac{x-y}{2}\right)^{2},~R_{3}^{2}=R^{2}-\left(\frac{z-t}{2}\right)^{2}.
Значит,
S=2(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2})=2\left(3R^{2}-\left(\frac{m-n}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x-y}{2}\right)^{2}-\left(\frac{z-t}{2}\right)^{2}\right)=
=6R^{2}-\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}+m^{2}+n^{2})+xy+zt+mn=
=6R^{2}-\frac{1}{2}S+3(R^{2}-a^{2})=9R^{2}-\frac{1}{2}S-3a^{2}.
Отсюда находим, что S=6R^{2}-2a^{2}
.