9697. Пусть E
— точка пересечения медиан основания ABC
правильного тетраэдра ABCD
. На отрезке DE
взята такая точка M
, что \angle AMB=90^{\circ}
. Найдите отношение EM:MD
.
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть K
— середина AB
, а ребро правильного тетраэдра ABCD
равно a
. Тогда EK=\frac{a\sqrt{3}}{6}
(см. задачу 1963). Отрезок DE
— высота тетраэдра, поэтому
DE=a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}
(см. задачу 7040). Из равнобедренного прямоугольного треугольника AMB
находим, что
MK=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
(см. задачу 1109). Тогда
EM=\sqrt{MK^{2}-EK^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{12}}=\frac{a\sqrt{6}}{6},~\frac{EM}{DE}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{6}}{\frac{a\sqrt{6}}{3}}=1:2.
Следовательно, EM:MD=1:1
.
Источник: Саратовская олимпиада. — 1987/1988, III тур, 9 класс
Источник: Андреева А. Н., Барабанов А. И., Чернявский И. Я. Саратовские математические олимпиады. 1950/51—1994/95. — М.: МЦНМО, 2013. — № 961, с. 99