9727. В правильной треугольной пирамиде SABC
с вершиной S
известно сторона основания AB
равна 6, а боковое ребро SA
равно 5. На рёбрах AB
и SC
взяты точки K
и M
соответственно, причём AK:KB=SM:MC=5:1
. Плоскость \alpha
содержит прямую KM
и параллельна прямой SA
.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABC
плоскостью \alpha
— прямоугольник.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка A
, а основанием — сечение пирамиды плоскостью \alpha
.
Ответ. \frac{25\sqrt{39}}{36}
.
Решение. а) Плоскость ASB
проходит через прямую SA
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку K
, значит, плоскости ASC
и \alpha
пересекаются по прямой l
, параллельной SA
(см. задачу 8003).
Плоскость ASC
проходит через прямую SA
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку M
, значит, плоскости ASC
и \alpha
пересекаются по прямой m
, параллельной SA
.
Пусть прямые l
и SB
пересекаются в точке L
, а прямые m
и AC
— в точке N
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках SL:LB=AK:KB=5:1
, а так как SM:MC=5:1=SL:LB
, то LM\parallel BC\parallel KN
. Следовательно, сечение пирамиды плоскостью \alpha
— параллелограмм KLMN
.
Противоположные рёбра SA
и BC
правильной пирамиды перпендикулярны (см. задачу 7000), а так как KL\parallel SA
и KN\parallel BC
, то \angle LKN=90^{\circ}
. Следовательно, параллелограмм KLMN
— прямоугольник.
б) Пусть P
— середина ребра BC
, PQ
— высота треугольника ASP
, O
— центр основания ABC
пирамиды. Тогда
AP=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},~AO=\frac{2}{3}AP=2\sqrt{3},
SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{25-12}=\sqrt{13},
а так как SO
— высота пирамиды, то SO
— высота треугольника ASP
, поэтому AP\cdot SO=SA\cdot PQ
(см. задачу 1967). Значит,
PQ=\frac{AP\cdot SO}{SA}=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}}{5}=\frac{3\sqrt{39}}{5}.
Прямая PQ
перпендикулярна пересекающимся прямым SA
и BC
, а значит, и параллельным им прямым KL
и KN
, следовательно, прямая PQ
перпендикулярна плоскости \alpha
. Пусть H
— точка пересечения этой прямой с плоскостью \alpha
. Поскольку SA\parallel\alpha
, высота пирамиды AKLMN
с вершиной A
равна длине отрезка QH
. Из подобия находим, что
QH=\frac{5}{6}PQ=\frac{5}{6}\cdot\frac{3\sqrt{39}}{5}=\frac{\sqrt{39}}{2}.
Следовательно,
V_{AKLMN}=\frac{1}{3}S_{KLMN}\cdot QH=\frac{1}{3}KL\cdot KN\cdot QH=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}SA\cdot\frac{5}{6}BC\cdot QH=
=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}\cdot5\cdot\frac{5}{6}\cdot6\cdot\frac{\sqrt{39}}{2}=\frac{25\sqrt{39}}{36}.