9750. Докажите, что для любого тетраэдра имеет место неравенство
r\lt\frac{ab}{2(a+b)},
где a
и b
— длины двух скрещивающихся рёбер, а r
— радиус вписанного шара.
Решение. Пусть ABCD
— тетраэдр, в котором AB=a
и CD=b
. Достроим его до параллелепипеда ABKLDMNC
(AD\parallel BM\parallel KN\parallel LC
). Расстояние между скрещивающимися прямыми AB
и CD
равно расстоянию между параллельными плоскостями ABKL
и DMNC
(см. примечание к задаче 7889). Обозначим его через h
, а объём параллелепипеда — через V
. Объём тетраэдра ABCD
равен шестой части объёма параллелепипеда ABKLDMNC
(в качестве оснований тетраэдра и параллелепипеда возьмём треугольник ABD
и параллелограмм ABMD
соответственно), т. е. v=\frac{1}{6}V
.
Если угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
, то
V=ab\sin\alpha\cdot h\leqslant abh,
поэтому v\leqslant\frac{1}{6}abh
.
Расстояния от точек C
и D
до прямой AB
не меньше расстояния h
между этими прямыми (см. задачу 7423), причём хотя бы одно из этих расстояний больше h
(иначе прямые AB
и CD
были бы параллельны), поэтому сумма площадей граней ABD
и ACB
, примыкающих к ребру, равному a
, больше ah
. Аналогично, сумма площадей двух других граней тетраэдра больше bh
. Значит, s\gt(a+b)h
, где s
— площадь поверхности тетраэдра.
Известно, что v=\frac{1}{3}sr
(см. задачу 7185). Следовательно,
r=\frac{3v}{s}\lt\frac{3\cdot\frac{1}{6}abh}{(a+b)h}=\frac{abh}{2(a+b)h}=\frac{ab}{2(a+b)}.