9871. В пирамиде SABC
известно, что AB=AC
, BC=56
, высота AD
треугольника ABC
равна 14. Высота SO
пирамиды равна 16 и проходит через точку O
, делящую AD
в отношении AO:OD=3:4
. Пирамида пересечена плоскостью, перпендикулярной прямой AD
, так, что в сечении получилась трапеция, в которую можно вписать окружность. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 245
.
Решение. Пусть плоскость сечения пересекает рёбра AB
и AC
в точках K
и L
, рёбра SB
и SC
в точках M
и N
, а медианы AD
и SC
равнобедренных треугольников ABC
и SBC
в точках P
и Q
соответственно. Тогда BC\parallel KL\parallel MN
(см. задачу 8004). Из условия задачи следует, что AO=6
и DO=8
. Обозначим \frac{OP}{OD}=k
. Тогда OP=8k
, а AP=6+8k
. Из подобия треугольников KAL
и BAC
получаем, что
KL=BC\cdot\frac{AP}{AD}=56\cdot\frac{6+8k}{14}=8(3k+4),
из подобия треугольников MSN
и BSC
—
MN=BC\cdot\frac{SO}{SD}=BC\cdot\frac{OP}{OD}=56k,
А из подобия треугольников PDQ
и ODS
—
PQ=SO\cdot\frac{DP}{DO}=16(1-k).
Трапеция KLNM
симметрична относительно прямой PQ
, значит, она равнобедренная. Вписанная в неё окружность радиуса r
с центром O
, касается оснований MN
и KL
в их серединах Q
и P
. Пусть F
— точка касания окружности с боковой стороной LN
. Тогда \angle LON=90^{\circ}
(см. задачу 313), а OF=r
— высота прямоугольного треугольника LON
, проведённая из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 2728),
r^{2}=OF^{2}=LF\cdot NF=LP\cdot NQ=\frac{1}{2}KL\cdot\frac{1}{2}MN=
=4(3k+4)\cdot28k=16\cdot7k(3k+4),
а так как PQ=2r
, то
256(1-k)^{2}=PQ^{2}=4r^{2}=64\cdot7k(3k+4),~\mbox{или}~
4(1-k)^{2}=7k(3+4k),~\mbox{или}~24k^{2}+29k-4=0.
Единственный положительный корень этого уравнения — k=\frac{1}{8}
. Тогда
KL=28,~MN=7,~PQ=14.
Следовательно,
S_{KLNM}=\frac{1}{2}(KL+MN)PQ=\frac{1}{2}(28+7)\cdot14=245.